Вычислите предел (√(3x−2) + √(x−1) − 3) / (x²−4) при x, стремящемся к 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Подставим $x=2$, чтобы определить вид неопределённости. Всегда сначала проверяется подстановка:

   $\text{числитель}=\sqrt{3(2)-2}+\sqrt{2-1}-3=\sqrt4+\sqrt1-3=2+1-3=0$

   $\text{знаменатель}=2^2-4=0$

   Получается форма $\tfrac00$. Это хороший знак: значит, множитель $(x-2)$ содержится и в числителе, и в знаменателе, и его можно будет сократить. Также видно, что $x=2$ лежит внутри области определения, так как $3x-2>0$ и $x-1>0$ в окрестности $x=2$.

2. 2

   Разобьём числитель так, чтобы каждый корень потерял своё значение. Константа $-3$ — это $-(2+1)$, то есть сумма значений двух корней при $x=2$. Запишем так:

   $\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3=\underbrace{\big(\sqrt{3x-2}-2\big)}_{\to\,0}+\underbrace{\big(\sqrt{x-1}-1\big)}_{\to\,0}$

   Это ключевой приём. Если пытаться рационализировать трёхчленный числитель сразу, получится сложно; разбиение превращает задачу в две стандартные сопряжённые разности.

3. 3

   Рационализируем каждую часть с помощью сопряжённого. Умножение на $\frac{\sqrt{\;}+\text{значение}}{\sqrt{\;}+\text{значение}}$ превращает разность корней в разность квадратов:

   $\sqrt{3x-2}-2=\frac{(3x-2)-4}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}$

   $\sqrt{x-1}-1=\frac{(x-1)-1}{\sqrt{x-1}+1}=\frac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}$

   Теперь обе части содержат явный множитель $(x-2)$ — тот же, что и в знаменателе.

4. 4

   Сократим общий множитель $(x-2)$. В знаменателе разложим $x^2-4$ как разность квадратов: $x^2-4=(x-2)(x+2)$, и объединим выражения:

   $\frac{\sqrt{3x-2}+\sqrt{x-1}-3}{x^2-4}=\frac{(x-2)\left[\dfrac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]}{(x-2)(x+2)}$

   $=\frac{1}{x+2}\left[\frac{3}{\sqrt{3x-2}+2}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}\right]$

   Сокращение допустимо, так как предел рассматривается только при $x\ne2$.

5. 5

   Подставим $x=2$ в упрощённое выражение. Теперь неопределённости нет:

   $\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2+2}+\frac{1}{1+1}\right]=\frac14\left[\frac34+\frac12\right]=\frac14\cdot\frac54=\frac{5}{16}$

6. 6

   Проверим результат с помощью правила Лопиталя. Так как была форма $\tfrac00$, можно продифференцировать числитель и знаменатель по отдельности:

   $\lim_{x\to2}\frac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x-1}}}{2x}=\frac{\tfrac{3}{4}+\tfrac12}{4}=\frac{\tfrac54}{4}=\frac{5}{16}$

   Оба способа приводят к одному ответу. Проверка на числах: при $x=2{,}00001$ значение выражения $0{,}3124986\ldots$, а $\tfrac{5}{16}=0{,}3125$.