Вычислить неопределённый интеграл 1, делённое на корень n-й степени из Dⁿ + Ka, по D, где K, a и n — константы.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим возможность элементарного выражения. Для произвольного $n$ подынтегральная функция $(D^n+Ka)^{-1/n}$ не имеет элементарной первообразной — только при $n = 1$ и $n = 2$ она выражается через стандартные функции. Значит, ответ ищется через специальную функцию, а не в виде логарифмов и корней. Только при $n = 2$ получится элементарная функция.

2. 2

   Вынесем константу для нормализации скобки. Вынесем $Ka$ из скобки, чтобы переменная часть стала малым возмущением к $1$:

   $D^n + Ka = Ka\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right) \quad \Longrightarrow \quad I = (Ka)^{-1/n}\int\left(1 + \frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD$

   Это стандартный приём: произвольная константа превращается в безразмерное отношение $t = D^n/(Ka)$.

3. 3

   Раскроем скобку по обобщённому биномиальному ряду. При $\left|D^n/(Ka)\right| < 1$ имеем:

   $\left(1 + u\right)^{-1/n} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\tfrac1n\right)_k}{k!}\,(-u)^k, \qquad u = \frac{D^n}{Ka}$

   Здесь $\left(\tfrac1n\right)_k$ — возрастающий факториал. Каждый член теперь — обычная степень $D$.

4. 4

   Интегрируем почленно. Так как $\int D^{nk}\,dD = \dfrac{D^{nk+1}}{nk+1}$ и $nk + 1 = n\left(k + \tfrac1n\right)$,

   $\int\left(1+\frac{D^n}{Ka}\right)^{-1/n} dD = D\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\tfrac1n\right)_k\left(\tfrac1n\right)_k}{\left(1+\tfrac1n\right)_k\,k!}\left(-\frac{D^n}{Ka}\right)^{k}$

   Дополнительный множитель $\tfrac{1/n}{k + 1/n} = \tfrac{\left(\frac1n\right)_k}{\left(1+\frac1n\right)_k}$, появляющийся из $1/(nk+1)$, как раз превращает биномиальный ряд в $_2F_1$.

5. 5

   Распознаём гипергеометрическую функцию Гаусса. Полученный ряд — это $_2F_1\!\left(\tfrac1n,\tfrac1n;1+\tfrac1n;\,z\right)$ при $z = -D^n/(Ka)$, поэтому

   $I = \frac{D}{(Ka)^{1/n}}\;{}_2F_1\!\left(\frac1n,\ \frac1n;\ 1+\frac1n;\ -\frac{D^{n}}{Ka}\right) + C$

   Численное дифференцирование этого ряда при $n = 2,\,2.5,\,3,\,4$ возвращает $(D^n+Ka)^{-1/n}$ с точностью до десяти знаков, что подтверждает правильность констант.

6. 6

   Частный случай $n = 2$ сводится к элементарному интегралу. При $n = 2$ интеграл — стандартный для обратного гиперболического синуса:

   $\int\frac{dD}{\sqrt{D^2 + Ka}} = \operatorname{arcsinh}\!\left(\frac{D}{\sqrt{Ka}}\right) + C = \ln\!\left|D + \sqrt{D^2+Ka}\right| + C'$

   Эти две формы различаются только на константу $\tfrac12\ln(Ka)$ и обе дифференцируются обратно в $(D^2+Ka)^{-1/2}$.