Вычислить двойной интеграл y по области −1 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим область интегрирования. Для каждого $x$ из $[-1,1]$ вертикальный срез проходит от параболы $y=x^2$ до прямой $y=1$. Эти две кривые пересекаются при $x^2=1$, то есть при $x=\pm 1$, поэтому область — это замкнутая фигура, ограниченная параболой и горизонтальной прямой, симметричная относительно оси $y$.

2. 2

   Сначала проинтегрируем по $y$, так как пределы зависят от $x$.

   $\int_{x^2}^{1} y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{y=1}=\frac{1}{2}-\frac{\left(x^2\right)^2}{2}=\frac{1-x^4}{2}$

   Следует обратить внимание, что $\left(x^2\right)^2=x^4$, а не $x^2$ — именно возведение нижнего предела в квадрат даёт слагаемое четвёртой степени.

3. 3

   Используем чётность функции для упрощения вычислений. Функция $\tfrac{1-x^4}{2}$ является чётной, поэтому

   $\int_{-1}^{1}\frac{1-x^4}{2}\,dx=2\int_0^1\frac{1-x^4}{2}\,dx=\int_0^1\left(1-x^4\right)dx$

4. 4

   Выполним внешний интеграл по $x$.

   $\int_0^1\left(1-x^4\right)dx=\left[x-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=1-\frac15=\frac45$

5. 5

   Проверим результат через центр масс. Площадь области равна $\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx=2-\tfrac23=\tfrac43$. Так как $\iint y\,dA=\bar y\cdot\text{Площадь}$, то полученный ответ даёт высоту центра масс

   $\bar y=\frac{4/5}{4/3}=\frac{3}{5}=0.6$

   Это разумное значение: область шире вблизи $y=1$ и сужается к точке при $y=0$, поэтому центр тяжести должен находиться выше середины $y=0.5$ $\checkmark$.