Вычислите тройной интеграл от −2y dz dy dx, где x меняется от −3 до 3, y — от 0 до корня из 9 − x², а z — от 0 до 9 − x² − y². Дайте точный ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Прочитаем пределы как описание тела, ещё не интегрируя. Пределы по $x$ и $y$ задают $x^2+y^2\le 9$ при $y\ge 0$ — верхнюю половину круга радиуса $3$, — а $z$ меняется от плоскости $z=0$ до параболоида $z=9-x^2-y^2$. Именно узнавание полукруга и позволит на последнем шаге перепроверить ответ в цилиндрических координатах.

2. 2

   Проинтегрируем сначала по $z$, ведь подынтегральная функция от $z$ не зависит. Внутренний интеграл — это просто подынтегральная функция, умноженная на высоту тела:

   $\int_{0}^{9-x^2-y^2}(-2y)\,dz=-2y\,(9-x^2-y^2)$

3. 3

   Проинтегрируем по $y$ и посмотрим, как сливаются два слагаемых. Раскрывая скобки, получаем $-2y(9-x^2)+2y^3$, поэтому при $R^2=9-x^2$:

   $\Bigl[-(9-x^2)y^2+\tfrac12 y^4\Bigr]_{0}^{\sqrt{9-x^2}}=-(9-x^2)^2+\tfrac12(9-x^2)^2=-\tfrac12(9-x^2)^2$

   Верхний предел в квадрате даёт ровно $9-x^2$ — поэтому обе степени $R$ так аккуратно объединяются.

4. 4

   Проинтегрируем по $x$, воспользовавшись чётностью подынтегральной функции. Так как $(9-x^2)^2=81-18x^2+x^4$ — чётная функция,

   $-\frac12\int_{-3}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx=-\int_{0}^{3}\!\!\bigl(81-18x^2+x^4\bigr)dx$
   $=-\Bigl[81x-6x^3+\tfrac{x^5}{5}\Bigr]_0^3=-\left(243-162+\frac{243}{5}\right)=-\frac{648}{5}$

5. 5

   Подтвердим значение в цилиндрических координатах. При $y=r\sin\theta$ и $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ то же тело задаётся условиями $0\le r\le 3$, $0\le\theta\le\pi$, $0\le z\le 9-r^2$:

   $\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{3}(-2r\sin\theta)(9-r^2)\,r\,dr\,d\theta=-2\left(\int_0^{\pi}\!\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_0^{3}\!r^2(9-r^2)\,dr\right)$

   Два сомножителя равны $2$ и $81-\tfrac{243}{5}=\tfrac{162}{5}$, что даёт $-2\cdot 2\cdot\tfrac{162}{5}=-\tfrac{648}{5}$ — то же самое точное значение, полученное совершенно другим путём.

6. 6

   Истолкуем знак. Всё тело лежит в области $y\ge 0$, а подынтегральная функция $-2y$ там $\le 0$, поэтому отрицательный ответ ожидаем; положительный результат сразу указывал бы на потерянный знак.