Вычислите предел (√(x+11) − 6)/(x−5) при x→5 или объясните, почему он не существует.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала подставим значение, прежде чем выбирать метод. Вид $\dfrac{\sqrt{u(x)}-c}{x-a}$ обычно подсказывает рационализацию числителя, но это работает только если числитель действительно обращается в ноль. Проверим:

   $\sqrt{5+11}-6=\sqrt{16}-6=4-6=-2$

   а знаменатель равен $5-5=0$. То есть имеем форму $\dfrac{-2}{0}$, а не $\dfrac{0}{0}$.

2. 2

   Поясним, почему стандартный приём с сопряжённым не работает. Если умножить на $\dfrac{\sqrt{x+11}+6}{\sqrt{x+11}+6}$, в числителе получится $(x+11)-36=x-25$, поэтому

   $\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=\frac{x-25}{(x-5)\left(\sqrt{x+11}+6\right)}$

   При $x=5$ новый числитель равен $-20\ne 0$; множитель $(x-5)$ по-прежнему остаётся только в знаменателе. Ничего не сокращается — это и есть типичная ситуация для дроби вида $\tfrac{c}{0}$. (Частая ошибка — пытаться разложить $x-25$ как $(x-5)(x+5)$, но $(x-5)(x+5)=x^2-25$, а не $x-25$.)

3. 3

   Рассмотрим односторонние пределы. В окрестности $x=5$ числитель близок к $-2<0$, поэтому знак дроби противоположен знаку $x-5$:

   $\lim_{x\to 5^{+}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=+\infty$

4. 4

   Проверим численно. При $x=5{,}0001$ значение дроби примерно $-2{,}0\times10^{4}$; при $x=4{,}9999$ — примерно $+2{,}0\times10^{4}$. То есть слева и справа пределы стремятся в противоположные бесконечности.

5. 5

   Делаем вывод. Так как односторонние пределы не совпадают (и даже не являются конечными), двустороннего предела не существует; прямая $x=5$ — вертикальная асимптота этой функции. Важно запомнить: неопределённость бывает только при $\tfrac00$ — если в числителе ненулевое число, а в знаменателе ноль, предел всегда бесконечен или не существует, но не может быть конечным.