Найдите предел ln(100x¹⁰⁰ + 5x + 3) / ln(2x²⁰ + 3x² − 2) при x, стремящемся к бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим вид предела. Оба логарифма стремятся к $+\infty$, поэтому дробь имеет неопределённость типа $\tfrac{\infty}{\infty}$. Можно было бы применить правило Лопиталя, но это привело бы к громоздким рациональным выражениям; гораздо проще воспользоваться структурой $\ln$.

2. 2

   Заменим каждый многочлен на его старший член. При $x\to\infty$:

   $100x^{100}+5x+3\sim100x^{100},\qquad2x^{20}+3x^{2}-2\sim2x^{20}$

   Такая подстановка допустима под знаком логарифма, потому что отброшенная часть даёт $\ln\left(1+o(1)\right)\to0$ — это аддитивное слагаемое, которое исчезает, а не мультипликативная ошибка.

3. 3

   Разобьём каждый логарифм по формуле $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.

   $\ln\left(100x^{100}\right)=\ln100+100\ln x,\qquad\ln\left(2x^{20}\right)=\ln2+20\ln x$

   Показатели становятся множителями при $\ln x$ — именно здесь степени $100$ и $20$ выходят на первый план.

4. 4

   Разделим числитель и знаменатель на $\ln x$. Поскольку $\ln x\to\infty$:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{\ln100}{\ln x}+100}{\frac{\ln2}{\ln x}+20}=\frac{0+100}{0+20}=5$

   Старшие коэффициенты $100$ и $2$ исчезают полностью — под логарифмом постоянный множитель даёт только добавку, несущественную по сравнению с $\ln x$.

5. 5

   Сформулируем общий результат и проверим. Для многочленов степеней $p$ и $q$ предел отношения логарифмов равен $\tfrac{p}{q}$ — здесь $\tfrac{100}{20}=5$ ✓. Численно выражение даёт $5{,}0244$ при $x=10$, $5{,}0123$ при $x=100$, $5{,}0025$ при $x=10^{10}$ и $5{,}00025$ при $x=10^{100}$ ✓ — медленное, но явное стремление к $5$, что типично для логарифмических пределов.