Докажите, что x = sin(kt) + cos(kt) удовлетворяет уравнению x'' + k²x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   План проверки. Чтобы убедиться, что функция является решением, необходимо дважды её продифференцировать, подставить в уравнение и проверить, что левая часть тождественно обращается в ноль — для любого $t$, а не только для отдельных значений.

2. 2

   Выполним первое дифференцирование, используя правило цепочки. Внутренняя функция — $kt$, её производная равна $k$, поэтому каждый слагаемый получает множитель $k$:

   $x'=k\cos(kt)-k\sin(kt)$

   Обратите внимание на смену знаков: производная $\sin$ — это $+\cos$, а производная $\cos$ — это $-\sin$.

3. 3

   Выполним второе дифференцирование. Каждый член снова получает множитель $k$, и знаки вновь меняются:

   $x''=-k^2\sin(kt)-k^2\cos(kt)$

   Таким образом, после двух производных появляется $k^2$ и общий минус — характерный признак синуса и косинуса.

4. 4

   Вынесем $-k^2$ за скобки и узнаем исходную функцию.

   $x''=-k^2\left(\sin(kt)+\cos(kt)\right)=-k^2x$

   так как выражение в скобках совпадает с $x$.

5. 5

   Подставим в уравнение.

   $x''+k^2x=-k^2x+k^2x=0\ \checkmark$

   Тождество выполняется при всех $t$ и $k$, значит функция действительно является решением.

6. 6

   Поясним физический и структурный смысл. $x''+k^2x=0$ — это уравнение гармонических колебаний, а система $\{\cos(kt),\sin(kt)\}$ образует базис его решений. Следовательно, $\sin(kt)+\cos(kt)$ — это частный случай с коэффициентами $1$ при обеих функциях. Его можно переписать в виде $\sqrt2\sin\!\left(kt+\tfrac{\pi}{4}\right)$, где амплитуда $\sqrt2$, а период $\tfrac{2\pi}{k}$.

7. 7

   Проведём численную проверку. При $k=1{,}7$ разностная аппроксимация второго порядка с шагом $10^{-4}$ даёт значения $x''$, совпадающие с $-k^2x$ при $t=0{,}3,\,1{,}1,\,-2{,}0$ до четвёртого знака ✓, а форма с амплитудой и фазой совпадает с исходной функцией на всех тестовых точках ✓.