Найдите площадь области, ограниченной параболой y = x² и прямой y = x + 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Находим точки пересечения. Приравниваем $x^2=x+2$, получаем $x^2-x-2=0$. Это уравнение раскладывается на множители: $(x-2)(x+1)=0$, откуда $x=-1$ и $x=2$. Эти значения определяют пределы интегрирования.

2. 2

   Определяем, какая кривая выше. Проверим значение в середине интервала, например, при $x=0.5$: для прямой получаем $2.5$, для параболы — $0.25$. Прямая располагается выше параболы на всём интервале $(-1,2)$, значит, подынтегральное выражение — прямая минус парабола.

3. 3

   Записываем определённый интеграл. Площадь равна $=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[(x+2)-x^2\right]dx$. Вычитание «сверху минус снизу» гарантирует положительное значение подынтегральной функции, поэтому модуль или разбиение на случаи не требуется.

4. 4

   Вычисляем первообразную. $\int\left(x+2-x^2\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}$.

5. 5

   Подставляем пределы интегрирования. При $x=2$ получаем: $2+4-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$. При $x=-1$: $\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$. Разность: $\frac{10}{3}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$.

6. 6

   Проверяем численно. Применяя правило Симпсона к $(x+2)-x^2$ на отрезке $[-1,2]$, получаем $4.5000$, что совпадает с $\frac{9}{2}$ квадратных единиц.