Найти предел x^{x+1}/(1+x)^x - 1/e при x стремящемся к плюс бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем дробь так, чтобы появился классический предел с $e$. Вынесем один множитель $x$ из числителя: $\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\cdot\frac{x^{x}}{(1+x)^{x}}=x\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}=x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}.$ Такое разложение позволяет свести сложную степень к выражению с известным пределом внутри.

2. 2

   Исследуем выражение в скобках. Известно, что $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\tfrac1x\right)^{x}=e$, значит $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}\longrightarrow\frac{1}{e},$ то есть этот множитель стремится к постоянной $e^{-1}\approx 0{,}3678794$ — он не исчезает и не стремится к бесконечности.

3. 3

   Восстанавливаем исходное произведение. Множитель, стремящийся к положительной константе $1/e$, умножается на $x\to+\infty$, что приводит к расходимости: $\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\left(1+\frac1x\right)^{-x}\sim\frac{x}{e}\longrightarrow +\infty.$ Значит, первый член выражения растёт без ограничения, причём линейно — как $x/e$.

4. 4

   Вычтем константу. Так как $\dfrac1e$ — фиксированное конечное число, его вычитание не влияет на расходимость: $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{1}{e}\right)=+\infty.$ Константа не может компенсировать расходящийся член — только выражение, само растущее как $x/e$, могло бы это сделать.

5. 5

   Посмотрим, что даст более точное вычитание. Раскроем $x\ln\!\left(1+\tfrac1x\right)=1-\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{3x^{2}}-\cdots$ и проэкспонируем: $x\left(1+\frac1x\right)^{-x}=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}-\frac{5}{24e\,x}+O\!\left(x^{-2}\right).$ Значит, если вычитать $\dfrac{x}{e}$ вместо $\dfrac{1}{e}$, предел будет конечным: $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{e}\right)=\frac{1}{2e}=0{,}1839397206,$ — именно такой вариант обычно встречается в учебниках.

6. 6

   Проверим оба утверждения численно. При $x=10^{5}$ выражение равно $36788{,}1280560984$, тогда как $x/e=36787{,}9441171442$ и $1/e=0{,}3678794412$. Разность с константой — $36787{,}7601766572$ (уже очень велика и продолжает расти), а разность с $x/e$ — $0{,}1839389542$, что отличается от $\tfrac{1}{2e}$ всего на $7{,}7\times 10^{-7}$, совпадая с оценкой остатка $\tfrac{5}{24e\,x}=7{,}66\times 10^{-7}$.