Вычислите тройной интеграл от yz по области 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2, y² ≤ z ≤ 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверяем согласованность пределов. При $0 \le y \le 2$ выполняется $y^2 \le 4$, поэтому внутренний промежуток $y^2 \le z \le 4$ всюду непуст и стягивается в точку лишь при $y = 2$. Область — это тело между параболической поверхностью $z = y^2$ и плоскостью $z = 4$, продолженное вдоль оси $x$.

2. 2

   Интегрируем по z — теперь с переменным нижним пределом.

   $\int_{y^2}^{4} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_{y^2}^{4} = y\left(\frac{16}{2} - \frac{y^4}{2}\right) = 8y - \frac{y^5}{2}$

   Возведение нижнего предела в квадрат даёт $(y^2)^2 = y^4$; если забыть его возвести, останется $y^2$ и ответ изменится.

3. 3

   Интегрируем по y от 0 до 2.

   $\int_0^2 \left(8y - \frac{y^5}{2}\right) dy = \left[4y^2 - \frac{y^6}{12}\right]_0^2 = 16 - \frac{64}{12} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

4. 4

   Интегрируем по x — подынтегральное выражение от x уже не зависит. Поскольку в полученном выражении $x$ не встречается, этот шаг сводится к умножению на длину промежутка по $x$:

   $\int_0^{2\pi} \frac{32}{3}\,dx = \frac{32}{3}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}$

5. 5

   Записываем ответ и проверяем его на разумность.

   $\iiint yz\,dV = \frac{64\pi}{3} \approx 67.02$

   Сравним с парной задачей, где $z$ меняется от $0$ до $y^2$: там получается $\frac{32\pi}{3}$, и вместе эти два интеграла обязаны давать интеграл по всему параллелепипеду $0 \le z \le 4$, то есть $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$. И действительно, $\frac{64\pi}{3} + \frac{32\pi}{3} = 32\pi$ — полная проверка согласованности.