С помощью сферических координат вычислить тройной интеграл от x² + y² + z² по единичному шару x² + y² + z² ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что и подынтегральная функция, и область радиально симметричны. Выражение $x^2+y^2+z^2$ и граница $x^2+y^2+z^2=1$ зависят только от расстояния до начала координат. Это верный признак того, что нужны сферические координаты: в декартовых пределы интегрирования содержат вложенные квадратные корни, а в сферических все три предела — постоянные.

2. 2

   Записываем сферическую замену вместе с якобианом. При

   $x=\rho\sin\phi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\phi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\phi$

   подынтегральная функция сворачивается до $x^2+y^2+z^2=\rho^2$, а элемент объёма несёт множитель-якобиан

   $dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   Множитель $\rho^2\sin\phi$ — не формальность: это локальный коэффициент растяжения объёма при замене координат, и именно его пропуск чаще всего губит этот интеграл.

3. 3

   Выписываем пределы интегрирования. Единичный шар задаётся так:

   $0\le\rho\le1,\qquad 0\le\phi\le\pi,\qquad 0\le\theta\le2\pi$

   Обратите внимание: $\phi$ (полярный угол, отсчитываемый от оси $+z$) пробегает только до $\pi$, а $\theta$ (азимутальный угол) — полные $2\pi$. Если поменять эти диапазоны местами, шар будет посчитан дважды.

4. 4

   Собираем интеграл и разделяем переменные. Подынтегральная функция вместе с якобианом даёт $\rho^2\cdot\rho^2\sin\phi=\rho^4\sin\phi$, поэтому

   $\iiint_B\left(x^2+y^2+z^2\right)dV=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\pi}\!\!\int_0^{1}\rho^4\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta$

   Поскольку подынтегральное выражение раскладывается в произведение (функция от $\rho$) $\times$ (функция от $\phi$) $\times$ (константа по $\theta$) и пределы постоянны, тройной интеграл распадается в произведение трёх однократных.

5. 5

   Вычисляем три сомножителя.

   $\int_0^{2\pi}d\theta=2\pi,\qquad \int_0^{\pi}\sin\phi\,d\phi=\big[-\cos\phi\big]_0^{\pi}=1+1=2,\qquad \int_0^{1}\rho^4\,d\rho=\left[\frac{\rho^5}{5}\right]_0^1=\frac15$

   Перемножаем:

   $(2\pi)(2)\left(\frac15\right)=\frac{4\pi}{5}\approx2.5133$

6. 6

   Оцениваем правдоподобность ответа. Объём шара равен $\tfrac43\pi\approx4.19$, а подынтегральная функция $\rho^2$ меняется от $0$ в центре до $1$ на поверхности, поэтому интеграл обязан лежать строго между $0$ и $4.19$. Среднее значение $\rho^2$ по шару равно $\tfrac{4\pi/5}{4\pi/3}=\tfrac35$ — разумно больше $\tfrac12$, ведь основная часть объёма шара сосредоточена у внешнего слоя. Оценка методом Монте-Карло по описанному кубу даёт $\approx2.515$, что подтверждает $4\pi/5$.