Измените порядок интегрирования и вычислите тройной интеграл dz dy dx, где z меняется от 0 до 3 − 3x − y, y от 0 до 3(1 − x), а x от 0 до 1, интегрируя сначала по y, затем по x и по z.

Step-by-step solution

1. 1

   Описываем тело неравенствами, а не пределами. Читая три предела изнутри наружу:

   $0\le z\le 3-3x-y,\qquad 0\le y\le 3-3x,\qquad 0\le x\le 1.$

   Все три сворачиваются в одно симметричное описание

   $x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad 3x+y+z\le 3,$

   а это тетраэдр с вершинами $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,3,0)$ и $(0,0,3)$.

2. 2

   Выбираем внешнюю переменную нового порядка. Требуется порядок $dy\,dx\,dz$, значит внешняя переменная — $z$. Проекция тетраэдра на ось $z$ даёт $0\le z\le 3$.

3. 3

   Фиксируем z и находим диапазон x. При закреплённом $z$ сечение задаётся условиями $\{3x+y\le 3-z,\ x,y\ge 0\}$. Наибольшее значение $x$ достигается при $y=0$:

   $0\le x\le \frac{3-z}{3}.$

4. 4

   Фиксируем z и x и выписываем y. Из $3x+y\le 3-z$ следует

   $0\le y\le 3-z-3x,$

   поэтому в новом порядке интеграл выглядит так:

   $\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{(3-z)/3}\int_{y=0}^{3-z-3x}dy\,dx\,dz.$

5. 5

   Вычисляем изнутри наружу. Внутренний интеграл даёт $3-z-3x$. Далее

   $\int_{0}^{(3-z)/3}\left(3-z-3x\right)dx=\left[(3-z)x-\tfrac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{(3-z)/3}=\frac{(3-z)^{2}}{3}-\frac{(3-z)^{2}}{6}=\frac{(3-z)^{2}}{6}.$

   Наконец

   $\int_{0}^{3}\frac{(3-z)^{2}}{6}\,dz=\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{3}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}.$

6. 6

   Проверяем геометрически. Подынтегральная функция равна $1$, значит ответ — это просто объём тетраэдра с попарно перпендикулярными рёбрами $1$, $3$ и $3$:

   $V=\frac{1}{6}(1)(3)(3)=\frac{3}{2}.$

   Два пути дают один результат, что подтверждает правильность смены порядка интегрирования.