Вычислить интеграл по θ от π/4 до π/2 и по ρ от 2sinθ до 2 от ρ²·sinθ dρ dθ.

Step-by-step solution

1. 1

   Анализ области интегрирования. В полярных координатах элемент площади равен $\rho\,d\rho\,d\theta$, поэтому $\rho^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta = (\rho\sin\theta)\,\rho\,d\rho\,d\theta = y\,dA$. Область ограничена окружностью $\rho=2\sin\theta$ (или $x^2+(y-1)^2=1$) и окружностью $\rho=2$, при $\theta$ от $\tfrac{\pi}{4}$ до $\tfrac{\pi}{2}$. Таким образом, интеграл вычисляет первый момент этой области относительно оси $x$.

2. 2

   Выполним интегрирование по ρ при фиксированном sin(θ). $\int_{2\sin\theta}^{2}\rho^2\,d\rho = \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_{2\sin\theta}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{8\sin^3\theta}{3}.$ Умножая на $\sin\theta$, получаем $\tfrac83\left(\sin\theta-\sin^4\theta\right)$.

3. 3

   Вычислим интеграл от sin(θ). $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin\theta\,d\theta = \left[-\cos\theta\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = 0+\frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{2}.$

4. 4

   Понизим степень sin⁴(θ) до суммы косинусов. Известно, что $\sin^2\theta = \tfrac{1-\cos2\theta}{2}$ и $\cos^2 2\theta = \tfrac{1+\cos4\theta}{2}$, поэтому $\sin^4\theta = \frac{3-4\cos2\theta+\cos4\theta}{8}.$ Для четных степеней синуса применяется формула понижения степени.

5. 5

   Выполним интегрирование полученного выражения. $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^4\theta\,d\theta = \frac18\left[3\theta-2\sin2\theta+\frac{\sin4\theta}{4}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \frac18\left(\frac{3\pi}{2}-\left(\frac{3\pi}{4}-2\right)\right) = \frac{3\pi}{32}+\frac14.$

6. 6

   Соберём итоговый ответ. $\frac83\left(\frac{\sqrt2}{2}-\frac{3\pi}{32}-\frac14\right) = \frac{4\sqrt2}{3}-\frac{\pi}{4}-\frac23 \approx 0.433553.$ Численное интегрирование $\tfrac83(\sin\theta-\sin^4\theta)$ по $\left[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\right]$ даёт $0.4335532531$, что подтверждает результат.