Функция y = f(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению dy/dx = 3x²(y − 4). Найдите частное решение, если f(0) = 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, что переменные разделяются, и проверяем особое решение. Правая часть — произведение функции от $x$ на функцию от $y$, значит переменные можно развести. Но прежде чем делить, отметим: при $y=4$ правая часть обращается в нуль, то есть $y=4$ само по себе является постоянным решением. Начальное значение $f(0)=6\neq 4$ показывает, что наше решение — не это, поэтому вблизи начальной точки деление на $y-4$ законно.

2. 2

   Разделяем переменные. Всё с $y$ переносим влево, всё с $x$ — вправо:

   $\frac{1}{y-4}\,dy=3x^{2}\,dx$

3. 3

   Интегрируем обе части. Слева получается логарифм, справа — степень:

   $\int\frac{1}{y-4}\,dy=\int 3x^{2}\,dx\ \Longrightarrow\ \ln|y-4|=x^{3}+C$

   Одной константы достаточно: константы обеих частей объединяются в одну.

4. 4

   Потенцируем и выражаем $y$. Применяя $e^{(\cdot)}$ к обеим частям,

   $|y-4|=e^{x^{3}+C}=e^{C}e^{x^{3}}$

   Поскольку $e^{C}$ — произвольная положительная константа, а знак разности $y-4$ поглощается тем, что константе разрешено быть отрицательной, запишем

   $y-4=Ke^{x^{3}}\ \Longrightarrow\ y=4+Ke^{x^{3}}$

   где $K$ — любое вещественное число (при $K=0$ получается особое решение $y=4$).

5. 5

   Подставляем начальное условие. При $x=0$, $y=6$ и с учётом $e^{0}=1$:

   $6=4+K\cdot 1\ \Longrightarrow\ K=2$

   Итак, частное решение имеет вид

   $y=4+2e^{x^{3}}$

6. 6

   Проверяем оба требования. Дифференцируя, получаем $\dfrac{dy}{dx}=2\cdot 3x^{2}e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$, а $3x^{2}(y-4)=3x^{2}\cdot 2e^{x^{3}}=6x^{2}e^{x^{3}}$ — совпадает. Проверка центральной разностью в точках $x=0.5$, $1.1$ и $-0.8$ согласуется с $3x^{2}(y-4)$ до пяти знаков после запятой, и $y(0)=4+2=6$, как и требовалось.