Решите дифференциальное уравнение X'' = -0,1X.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем уравнение в стандартном виде. Теория линейных уравнений второго порядка применяется к виду $aX''+bX'+cX=0$, поэтому перенесём $0{,}1X$ в левую часть:

   $X''+0.1X=0$

   В уравнении нет слагаемого с $X'$ и нет свободного члена, значит, оно однородное с постоянными коэффициентами — именно такой случай полностью решается экспоненциальным методом.

2. 2

   Подставим $X=e^{rt}$, чтобы свести задачу к алгебре. Производная $X'=re^{rt}$, вторая производная $X''=r^{2}e^{rt}$, значит, уравнение принимает вид

   $r^{2}e^{rt}+0.1e^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+0.1\right)=0$

   Так как $e^{rt}$ не обращается в ноль ни при каком действительном $t$, скобка должна равняться нулю. Получаем характеристическое уравнение: $r^{2}+0.1=0$.

3. 3

   Решим характеристическое уравнение и проанализируем знак $r^{2}$.

   $r^{2}=-0.1\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i\sqrt{0.1}=\pm\frac{i}{\sqrt{10}}$

   Корни — чисто мнимые: вещественная часть отсутствует. Это признак незатухающих колебаний — в уравнении нет ни роста, ни затухания.

4. 4

   Преобразуем комплексные корни в действительные решения через синус и косинус. Для сопряжённой пары $r=\pm i\omega$ два независимых решения — $\cos(\omega t)$ и $\sin(\omega t)$, поэтому при $\omega=\sqrt{0.1}$:

   $X(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)$

   Так как $\sqrt{0.1}=1/\sqrt{10}$, можно записать эквивалентно: $X(t)=C_{1}\cos(t/\sqrt{10})+C_{2}\sin(t/\sqrt{10})$.

5. 5

   Проверим подстановкой. Вторая производная каждого слагаемого даёт множитель $-\omega^{2}=-0.1$, поэтому $X''=-0.1X$ выполняется тождественно. Численная проверка для $C_{1}=1.3$, $C_{2}=-0.7$ при $t=0.5$, $1.7$ и $3.3$ показывает совпадение $X''$ и $-0.1X(t)$ с точностью до $10^{-6}$ ✓.

6. 6

   Поясним смысл констант. Угловая частота $\omega=\sqrt{0.1}\approx0.3162$ рад/ед.вр., период $T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{10}\approx19.87$. Константы $C_{1}$ и $C_{2}$ определяются начальными условиями: $C_{1}=X(0)$, $C_{2}=X'(0)/\omega$.