Найти предел при x стремящемся к плюс бесконечности от sinh x, делённого на квадратный корень из cosh 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Перейдём к русским обозначениям и рассмотрим вид выражения. $\operatorname{sh}x=\sinh x = \tfrac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\operatorname{ch}(2x)=\cosh 2x = \tfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}$. При $x\to+\infty$ обе функции стремятся к бесконечности, поэтому дробь имеет неопределённость вида $\tfrac{\infty}{\infty}$ — требуется сравнить скорости роста.

2. 2

   Выделим главный показатель в числителе. $\sinh x = \frac{e^x}{2}\left(1-e^{-2x}\right).$ Таким образом, основной рост ($e^x$) вынесен за скобки, а скобка стремится к $1$.

3. 3

   Аналогично преобразуем выражение под корнем. $\cosh 2x = \frac{e^{2x}}{2}\left(1+e^{-4x}\right) \Longrightarrow \sqrt{\cosh 2x} = \frac{e^{x}}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}.$ При извлечении корня показатель степени делится пополам, то есть знаменатель также растёт как $e^x$ — значит, скорости роста совпадают, и предел конечен и отличен от нуля.

4. 4

   Сократим общий множитель. $\frac{\sinh x}{\sqrt{\cosh 2x}} = \frac{\frac{e^x}{2}(1-e^{-2x})}{\frac{e^x}{\sqrt2}\sqrt{1+e^{-4x}}} = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{1-e^{-2x}}{\sqrt{1+e^{-4x}}}.$

5. 5

   Переходим к пределу оставшейся дроби. При $x\to+\infty$ имеем $e^{-2x}\to0$ и $e^{-4x}\to0$, поэтому дробь стремится к $\tfrac{1}{1}=1$, и $\lim_{x\to+\infty}\frac{\operatorname{sh}x}{\sqrt{\operatorname{ch}2x}} = \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.70711.$

6. 6

   Проверим результат через тождество и численно. Так как $\cosh 2x = 1+2\sinh^2 x$, исходная дробь равна $\sinh x/\sqrt{1+2\sinh^2x} \to 1/\sqrt2$ при $\sinh x\to\infty$ — тот же ответ. При $x=30$ значение выражения составляет $0.7071067812$.