Найдите неопределённый интеграл 2^x × (2^x + 4)^5 по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем внутреннюю функцию, производная которой уже стоит снаружи. Скобка $2^x+4$ возводится в степень, а её производная равна

   $\frac{d}{dx}\left(2^{x}+4\right)=2^{x}\ln 2,$

   что совпадает с внешним множителем $2^x$ с точностью до константы $\ln 2$. Это характерный признак задачи на подстановку.

2. 2

   Выполним подстановку. Пусть

   $u=2^{x}+4\quad\Longrightarrow\quad du=2^{x}\ln 2\,dx\quad\Longrightarrow\quad 2^{x}\,dx=\frac{du}{\ln 2}.$

   Здесь основание показательной функции — $2$, а не $e$, поэтому множитель $\ln 2$ обязательно учитывается — именно его чаще всего забывают в подобных интегралах.

3. 3

   Перепишем интеграл полностью через u.

   $\int 2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5}dx=\int u^{5}\,\frac{du}{\ln 2}=\frac{1}{\ln 2}\int u^{5}\,du.$

4. 4

   Применим формулу для интеграла степени и вернёмся к переменной x.

   $\frac{1}{\ln 2}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C=\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}+C.$

5. 5

   Проверим результат дифференцированием. По правилу цепочки,

   $\frac{d}{dx}\frac{\left(2^{x}+4\right)^{6}}{6\ln 2}=\frac{6\left(2^{x}+4\right)^{5}\cdot 2^{x}\ln 2}{6\ln 2}=2^{x}\left(2^{x}+4\right)^{5},$

   что совпадает с исходным подынтегральным выражением, значит, первообразная найдена верно.