Решите дифференциальное уравнение (x + y + 1) dx + (2x + 2y + 5) dy = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим уравнение на точность. Обозначим $M=x+y+1$, $N=2x+2y+5$. Тогда

   $\frac{\partial M}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2$

   Производные не совпадают, значит, уравнение не является точным и функцию-потенциал сразу записать нельзя.

2. 2

   Заметим структурную особенность. Оба коэффициента зависят только от суммы $x+y$:

   $M=(x+y)+1,\qquad N=2(x+y)+5$

   Если уравнение зависит от $x$ и $y$ только через $x+y$, подстановка $u=x+y$ приводит его к уравнению с разделяющимися переменными относительно $u$ и $x$.

3. 3

   Выполним замену переменных. Положим $u=x+y$, тогда $y=u-x$, а $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{du}{dx}-1$. Разделим исходное уравнение на $dx$ и выразим $y'$:

   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x+y+1}{2x+2y+5}=-\frac{u+1}{2u+5}$

   Получаем

   $\frac{du}{dx}-1=-\frac{u+1}{2u+5}\ \Longrightarrow\ \frac{du}{dx}=\frac{2u+5-(u+1)}{2u+5}=\frac{u+4}{2u+5}$

4. 4

   Разделим переменные и представим неправильную дробь как сумму. Перенесём всё, содержащее $u$, в одну часть:

   $\frac{2u+5}{u+4}\,du=dx,\qquad \frac{2u+5}{u+4}=\frac{2(u+4)-3}{u+4}=2-\frac{3}{u+4}$

   Представление в виде «многочлен плюс правильная дробь» позволяет проинтегрировать левую часть в явном виде.

5. 5

   Проинтегрируем обе части.

   $\int\left(2-\frac{3}{u+4}\right)du=\int dx\ \Longrightarrow\ 2u-3\ln|u+4|=x+C$

6. 6

   Подставим исходные переменные и упростим. При $u=x+y$ имеем:

   $2(x+y)-3\ln|x+y+4|=x+C\ \Longrightarrow\ x+2y-3\ln|x+y+4|=C$

7. 7

   Проверим решение неявным дифференцированием. Для $F=x+2y-3\ln|x+y+4|$:

   $F_{x}=1-\frac{3}{x+y+4},\qquad F_{y}=2-\frac{3}{x+y+4}$

   Вычисления показывают, что $F_{x}N-F_{y}M=0$ (проверено численно при $(0{,}5;1{,}2)$, $(2;-0{,}3)$ и $(-1;3)$ с машинной точностью), значит, уровенные линии $F$ — это решения уравнения. Кроме того, $F_{x}/M=F_{y}/N=\dfrac{1}{x+y+4}$, что указывает на интегрирующий множитель $\mu=\dfrac{1}{x+y+4}$, скрытый за заменой переменных.