Найти ряд Тейлора для (1−x)^k в окрестности x = 0 при любом действительном k. Указать общий член и радиус сходимости.

Step-by-step solution

1. 1

   Используется обобщённая биномиальная теорема вместо вычисления производных. В принципе, разложение Маклорена записывается как $\sum\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}$, однако вычислять $f^{(n)}(x)=(-1)^{n}k(k-1)\cdots(k-n+1)(1-x)^{k-n}$ вручную затруднительно. Биномиальный ряд даёт тот же результат в готовом виде:

   $(1+t)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}t^{n},\qquad \binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},$

   причём формула справедлива при $|t|<1$ и любом действительном $k$ — не только при натуральных показателях.

2. 2

   Подставим $t=-x$. Это единственное необходимое преобразование:

   $(1-x)^{k}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{k}{n}(-x)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\binom{k}{n}x^{n}.$

   Именно множитель $(-1)^{n}$ определяет знаки всех членов разложения.

3. 3

   Запишем несколько первых членов. Раскрывая коэффициенты, получаем:

   $(1-x)^{k}=1-kx+\frac{k(k-1)}{2!}x^{2}-\frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^{3}+\cdots$

   Проверим на знакомом случае: при $k=-1$ каждый коэффициент $(-1)^{n}\binom{-1}{n}$ равен $1$, что даёт геометрическую прогрессию $\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+\cdots$ ✓.

4. 4

   Укажем, когда ряд обрывается. Если $k$ — неотрицательное целое, то множитель $(k-n)$ обращает $\binom{k}{n}$ в ноль при всех $n>k$, поэтому сумма становится конечной и совпадает с обычным биномиальным разложением — например, $(1-x)^{3}=1-3x+3x^{2}-x^{3}$. Для всех остальных $k$ ряд действительно бесконечен.

5. 5

   Запишем радиус сходимости и проверим численно. По признаку Даламбера $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=\left|\frac{k-n}{n+1}\right||x|\to|x|$, значит, ряд сходится при

   $|x|<1$

   и расходится при $|x|>1$; поведение на концах зависит от $k$ (при $k>0$ сходится на обоих концах). Числовая проверка: при $k=2.5$, $x=0.3$ сумма шестидесяти членов даёт $0.409963413001697$, что совпадает с $(0.7)^{2.5}=0.409963413001697$ ✓.