Найдите предел при x→0 выражения (cos²x – 4cosx + 3) / sin²x.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. При $x=0$ имеем $\cos 0=1$, значит числитель равен $1-4+3=0$, а $\sin^2 0=0$. Получается неопределённость $\tfrac00$, поэтому необходимо предварительно преобразовать выражение.

2. 2

   Рассмотрим числитель как квадратный трёхчлен по $u=\cos x$. Разложим на множители:

   $u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\quad\Longrightarrow\quad \cos^2x-4\cos x+3=(\cos x-1)(\cos x-3)$

   Множитель $\cos x-1$ обращается в ноль при $x=0$.

3. 3

   Преобразуем знаменатель, чтобы появился тот же множитель. Используем основное тригонометрическое тождество:

   $\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x)$

   Теперь и в числителе, и в знаменателе содержится $1-\cos x$ (с точностью до знака), что позволяет выполнить точное сокращение.

4. 4

   Выполним сокращение. Запишем $\cos x-1=-(1-\cos x)$:

   $\frac{(\cos x-1)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-(1-\cos x)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}$

   Это выражение определено при всех $x$ в окрестности $0$, где $x\neq 0$, что достаточно для вычисления предела.

5. 5

   Подставим $x=0$ в упрощённое выражение. Теперь функция непрерывна при $x=0$:

   $\lim_{x\to 0}\frac{3-\cos x}{1+\cos x}=\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

6. 6

   Проверим численно. При $x=10^{-3}$ исходное выражение даёт $1.0000005$, а при $x=10^{-4}$ — $1.000000005$, оба значения стремятся к $1$. $\checkmark$