Найдите все действительные m, при которых функция y = (x + 4)/(x + m) возрастает на промежутке (−∞, −7).

Step-by-step solution

1. 1

   Дифференцируем по формуле для дробно-линейной функции. Для $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ имеем $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^{2}}$, а здесь $a=1$, $b=4$, $c=1$, $d=m$:

   $y'=\frac{m-4}{(x+m)^{2}}$

2. 2

   Записываем условие на знак. Квадрат в знаменателе положителен всюду, где функция определена, поэтому возрастание означает

   $m-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad m>4$

3. 3

   Записываем условие на полюс. У функции вертикальная асимптота в точке $x=-m$. Возрастание на всём промежутке $(-\infty,-7)$ требует, чтобы эта асимптота лежала вне него:

   $-m\notin(-\infty,-7)\quad\Longleftrightarrow\quad -m\ge -7\quad\Longleftrightarrow\quad m\le 7$

   Обратите внимание: концевое значение допустимо: при $m=7$ полюс попадает ровно в $x=-7$, а это не внутренняя точка открытого промежутка $(-\infty,-7)$.

4. 4

   Пересекаем оба условия.

   $4<m\le 7$

   $\boxed{m\in(4,\,7]}$

5. 5

   Проверяем три граничных случая. При $m=4$: $y=\tfrac{x+4}{x+4}=1$ — постоянная, а не возрастающая функция ✗, поэтому $4$ исключается. При $m=7$: $y=\tfrac{x+4}{x+7}$ и $y'=\tfrac{3}{(x+7)^{2}}>0$ на $(-\infty,-7)$ ✓, значит $7$ включается. При $m=8$: полюс $x=-8$ лежит внутри $(-\infty,-7)$, поэтому там у функции разрыв и на всём промежутке она не возрастает ✗.

6. 6

   Отмечаем общую закономерность. Для $y=\dfrac{x+p}{x+m}$, возрастающей на $(-\infty,-q)$ при $q>p>0$, те же два условия дают $p<m\le q$ — то есть ответом всегда служит полуинтервал $(p,q]$, замкнутый справа.