Вычислить двойной интеграл x·y·e^(x²·y) по области D = {−2 ≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 5π/2}.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбираем переменную внутреннего интегрирования так, чтобы стала возможна замена. Показатель $x^2y$ при дифференцировании по $x$ даёт $2xy$, а в подынтегральном выражении уже есть множитель $xy$. Поэтому интегрируем сначала по $x$; если же начать с $y$, придётся интегрировать по частям.

2. 2

   Делаем во внутреннем интеграле замену u = x^2 y. Тогда $du=2xy\,dx$, то есть $xy\,dx=\tfrac12\,du$. Пределы переходят так: $x=-2\Rightarrow u=4y$ и $x=0\Rightarrow u=0$ (заметим: $x$ отрицателен, а $x^2$ — нет).

3. 3

   Вычисляем внутренний интеграл. $\int_{-2}^{0}xy\,e^{x^2y}\,dx=\frac12\int_{4y}^{0}e^u\,du=\frac12\left(e^0-e^{4y}\right)=\frac{1-e^{4y}}{2}$. Именно перевёрнутые пределы по $u$ делают результат отрицательным при $y>0$.

4. 4

   Интегрируем полученное выражение по y. $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}\,dy=\frac12\left[y-\frac{e^{4y}}{4}\right]_0^{5\pi/2}=\frac12\left(\frac{5\pi}{2}-\frac{e^{10\pi}}{4}+\frac14\right)$.

5. 5

   Раскрываем множитель одна вторая. Точное значение равно $\frac{5\pi}{4}+\frac18-\frac{e^{10\pi}}{8}$. Экспоненциальное слагаемое полностью доминирует, поскольку $e^{10\pi}\approx 4.4031\times 10^{13}$.

6. 6

   Численная проверка. Замкнутая формула даёт $-5.5039382325749\times 10^{12}$, и адаптивная квадратура интеграла $\int_0^{5\pi/2}\frac{1-e^{4y}}{2}dy$ возвращает то же самое значение $-5.5039382325749\times 10^{12}$ — совпадение до 13 значащих цифр.