Решить дифференциальное уравнение y'' + y = 12.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём задачу на две части. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами общее решение имеет вид $y=y_h+y_p$: общее решение однородного уравнения плюс какое-нибудь одно частное решение полного уравнения. Нужны обе части — и пропуск $y_p$, и потеря произвольных постоянных одинаково приводят к неверному ответу.

2. 2

   Решим однородное уравнение. Приравняв правую часть к нулю и подставив $y=e^{rx}$, получаем характеристическое уравнение

   $r^2+1=0\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i$

   Чисто мнимой сопряжённой паре $\pm i\beta$ отвечают колебания без затухания, поэтому

   $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$

3. 3

   Подберём вид частного решения. Правая часть — постоянная $12$, поэтому пробуем константу $y_p=A$. У константы производные равны нулю, значит, $y_p''=0$, и подстановка даёт

   $0+A=12\qquad\Longrightarrow\qquad A=12$

   то есть $y_p=12$. (Это работает потому, что $r=0$ не является корнем характеристического уравнения — иначе к пробной функции пришлось бы добавить множитель $x$.)

4. 4

   Соберём общее решение.

   $y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x+12$

5. 5

   Истолкуем ответ. Решение колеблется с периодом $2\pi$ и амплитудой $\sqrt{C_1^2+C_2^2}$ вокруг положения равновесия $y=12$. Это число $12$ и есть установившийся уровень, задаваемый постоянным внешним воздействием: однородная часть отвечает за колебание, частная — за положение средней линии.

6. 6

   Проверим подстановкой. При $y=C_1\cos x+C_2\sin x+12$ имеем $y''=-C_1\cos x-C_2\sin x$, поэтому

   $y''+y=\left(-C_1\cos x-C_2\sin x\right)+\left(C_1\cos x+C_2\sin x+12\right)=12\ \checkmark$

   Численно при $C_1=1.3$, $C_2=-0.7$ центральная вторая разность с шагом $10^{-4}$ даёт $y''+y=12.000$ при $x=0.2,\ 1.5,\ -1.1$ ✓.