Вычислить интеграл от x = 0 до 1, внутренний интеграл от y = x до √(2 – x²) x/√(x² + y²) dy dx, заменив порядок интегрирования.

Step-by-step solution

1. 1

   Изобразим область интегрирования. По условиям $0\le x\le 1$ и $x\le y\le\sqrt{2-x^2}$: область лежит выше прямой $y=x$, внутри окружности $x^2+y^2=2$ и левее $x=1$. Прямая пересекает окружность в точке $(1,1)$, значит, область — это сектор с вершинами $(0,0)$, $(0,\sqrt2)$ и $(1,1)$.

2. 2

   Меняем порядок интегрирования — область разбивается на два среза. Для фиксированного $y$ левая граница всегда $x=0$. Для $0\le y\le 1$ правая граница — прямая $x=y$; для $1\le y\le\sqrt2$ — окружность $x=\sqrt{2-y^2}$. Получаем: $I=\int_0^1\!\!\int_0^{y}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy+\int_1^{\sqrt2}\!\!\int_0^{\sqrt{2-y^2}}\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dy.$ Если бы взять один срез $x$ от $y$ до $\sqrt{2-y^2}$, то описывалась бы область ниже $y=x$, что является типичной ловушкой при такой замене.

3. 3

   Выполним внутренний интеграл. Подставим $u=x^2+y^2$, тогда $du=2x\,dx$, $\int\frac{x\,dx}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sqrt{x^2+y^2}.$

4. 4

   Вычислим оба среза. Первый срез: $\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{y}=\sqrt2\,y-y$, значит, $\int_0^1(\sqrt2-1)y\,dy=\dfrac{\sqrt2-1}{2}$. Второй срез: $\left[\sqrt{x^2+y^2}\right]_0^{\sqrt{2-y^2}}=\sqrt2-y$, значит, $\int_1^{\sqrt2}(\sqrt2-y)\,dy=2-\sqrt2-\dfrac12$.

5. 5

   Складываем результаты. $I=\frac{\sqrt2-1}{2}+\left(\frac32-\sqrt2\right)=1-\frac{\sqrt2}{2}\approx 0.292893.$

6. 6

   Проверим в полярных координатах. При $x=\rho\cos\theta$ подынтегральная функция становится $\cos\theta$, а $dA=\rho\,d\rho\,d\theta$. На $\tfrac\pi4\le\theta\le\tfrac\pi2$ ограничение $x\le 1$ не влияет (так как $\sec\theta\ge\sqrt2$), поэтому $\rho$ меняется от $0$ до $\sqrt2$: $\int_{\pi/4}^{\pi/2}\!\!\int_0^{\sqrt2}\cos\theta\,\rho\,d\rho\,d\theta=\bigl[\sin\theta\bigr]_{\pi/4}^{\pi/2}=1-\frac{\sqrt2}{2}.$