Найдите ряд Маклорена для 1/(1+x)² до и включая слагаемое степени 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Начнём с известного ряда. Геометрический ряд даёт при $|x|<1$:

   $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^n$

   Вместо того чтобы вычислять семь производных от $(1+x)^{-2}$ в нуле, заметим связь с этим рядом.

2. 2

   Продифференцируем обе части по $x$. Известно, что $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{1+x}\right)=-\dfrac{1}{(1+x)^2}$, поэтому, продифференцировав ряд по членам и поменяв знак, сразу получаем нужную функцию:

   $-\frac{1}{(1+x)^2}=-1+2x-3x^2+4x^3-\cdots\;\Longrightarrow\;\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+\cdots$

   Почленное дифференцирование допустимо внутри радиуса сходимости, который остаётся $|x|<1$.

3. 3

   Запишем общий коэффициент. Видно, что знак чередуется, а по модулю коэффициенты возрастают на единицу:

   $\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n+1)x^n$

   Это можно проверить по биномиальному ряду $(1+x)^{-2}=\sum\binom{-2}{n}x^n$, где $\binom{-2}{n}=(-1)^n(n+1)$.

4. 4

   Выпишем члены до степени 7 включительно.

   $\frac{1}{(1+x)^2}=1-2x+3x^2-4x^3+5x^4-6x^5+7x^6-8x^7+O\!\left(x^8\right)$

5. 5

   Проверим значение и укажем область сходимости. При $x=0{,}1$ частичная сумма даёт $1-0{,}2+0{,}03-0{,}004+0{,}0005-0{,}00006+0{,}000007-0{,}0000008=0{,}8264462$, а точное значение $\dfrac{1}{1{,}1^2}=0{,}826446\overline{28}$ $\checkmark$. При $x=1$ ряд превращается в $1-2+3-4+\cdots$, который не сходится, что соответствует радиусу $|x|<1$, унаследованному от геометрического ряда.