Найдите предел при x → –4 выражения (x² + 5x + 4)/(x² + 3x – 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала подставим $x = -4$, чтобы определить вид предела. В числителе: $(-4)^2 + 5(-4) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$. В знаменателе: $(-4)^2 + 3(-4) - 4 = 16 - 12 - 4 = 0$. Получена неопределённость $\tfrac00$, что означает наличие общего множителя $(x+4)$ в числителе и знаменателе.

2. 2

   Разложим числитель на множители. Подберём два числа, произведение которых $4$, а сумма $5$ — это $1$ и $4$: $x^2+5x+4=(x+1)(x+4).$

3. 3

   Разложим знаменатель на множители. Подберём два числа, произведение которых $-4$, а сумма $3$ — это $4$ и $-1$: $x^2+3x-4=(x+4)(x-1).$

4. 4

   Сократим общий множитель. Для $x \ne -4$ имеем: $\frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}=\frac{x+1}{x-1}.$ Сокращение допустимо, так как предел не требует подстановки самого значения $x = -4$ в исходное выражение.

5. 5

   Теперь подставим $x = -4$ в упрощённую дробь: $\lim_{x\to-4}\frac{x+1}{x-1}=\frac{-4+1}{-4-1}=\frac{-3}{-5}=\frac35.$ Для проверки можно взять значения $x = -4{,}001$ и $x = -3{,}999$ в исходной дроби: получаем $0{,}60008$ и $0{,}59992$, что подтверждает приближение к $0{,}6$.