Для интеграла (x − 4y) по прямоугольнику −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2: опишите область, вычислите двойной интеграл, затем поменяйте порядок интегрирования и вычислите снова.

Step-by-step solution

1. 1

   (a) Определим область интегрирования. Все четыре предела — константы, значит, областью интегрирования будет прямоугольник

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 1,\ 0\le y\le 2\}$

   с вершинами $(-1,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$ и $(-1,2)$.

2. 2

   (b) Используем симметрию промежутка по x. Промежуток $[-1,1]$ симметричен относительно $0$, а $x$ — нечётная функция, поэтому

   $\int_{-1}^{1}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1}=\frac12-\frac12=0$

   Это полностью «убивает» слагаемое с $x$ ещё до интегрирования по $y$.

3. 3

   Интегрируем оставшееся слагаемое по x. При фиксированном $y$ имеем

   $\int_{-1}^{1}(-4y)\,dx=-4y\big[x\big]_{-1}^{1}=-4y(2)=-8y$

   то есть внутренний интеграл равен $0-8y=-8y$.

4. 4

   Интегрируем по y.

   $\int_{0}^{2}(-8y)\,dy=\left[-4y^{2}\right]_{0}^{2}=-16$

5. 5

   (c) Меняем порядок интегрирования и проверяем.

   $\int_{-1}^{1}\!\!\int_{0}^{2}(x-4y)\,dy\,dx=\int_{-1}^{1}\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{2}dx=\int_{-1}^{1}(2x-8)\,dx=\big[x^{2}-8x\big]_{-1}^{1}=(1-8)-(1+8)=-16$

   $\boxed{-16}$

6. 6

   Проверим знак и порядок величины. На этом прямоугольнике $y$ принимает значения до $2$, значит $-4y$ достигает $-8$, а $x$ в среднем не влияет; среднее значение подынтегральной функции — $-4\bar y=-4$, а площадь прямоугольника $2\times 2=4$, получаем $-4\times 4=-16$ — всё сходится.