Вычислите предел sin(x)/x при x стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. При $x\to0$ и $\sin x\to0$, и $x\to0$, поэтому подстановка даёт $\tfrac00$ — неопределённость. Такой предел нельзя найти прямой подстановкой, и даже по правилу Лопиталя его честно не вычислить, так как производная $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ обычно доказывается именно с помощью этого предела.

2. 2

   Построим геометрическое сравнение. Для $0<x<\tfrac{\pi}{2}$ сравним три площади внутри единичной окружности: треугольник площадью $\tfrac12\sin x$, сектор площадью $\tfrac12x$ и больший треугольник площадью $\tfrac12\tan x$. Каждая следующая фигура содержит предыдущую, поэтому

   $\frac12\sin x\le\frac12x\le\frac12\tan x.$

   Средний член равен площади сектора только если $x$ выражен в радианах: формула $\tfrac12r^{2}x$ работает только для радианной меры.

3. 3

   Преобразуем в неравенство для сжатия. Разделим все части на $\tfrac12\sin x>0$, получая $1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}$, а затем, взяв обратные величины, меняем направление неравенств:

   $\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1.$

   Обе функции $\frac{\sin x}{x}$ и $\cos x$ — чётные, поэтому эти же оценки верны и для $-\tfrac{\pi}{2}<x<0$, то есть рассуждение охватывает обе стороны от нуля.

4. 4

   Применим теорему о сжатой функции. Так как $\cos x\to1$ и константа $1\to1$ при $x\to0$, зажатое выражение тоже стремится к $1$:

   $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

5. 5

   Проверим численно и укажем важность радианов. Если считать в радианах: при $x=0.1$ отношение равно $0.998334$, при $x=0.01$ — $0.9999833$, при $x=0.001$ — $0.99999983$, то есть приближается к $1$ снизу, что согласуется с неравенством $\cos x\le\frac{\sin x}{x}$ ✓. Если бы $x$ выражался в градусах, предел был бы $\frac{\pi}{180}\approx0.01745$ — именно поэтому в анализе используют радианы.