Найдите предел при x→2 выражения (1 + (x³ − 8)/(4x − 8)) в степени 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала определим вид неопределённости, чтобы выбрать способ решения. При $x=2$ дробь $\frac{x^3-8}{4x-8}$ даёт $\frac00$, поэтому основание не обязательно стремится к 1 — это может быть, а может и не быть формой $1^{\infty}$. Упростим внутреннюю дробь — тогда вид предела станет ясен.

2. 2

   Выполним разложение числителя и знаменателя на множители. Числитель — разность кубов: $x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$. Знаменатель: $4x-8 = 4(x-2)$. Общий множитель $x-2$ можно сократить (так как при стремлении к 2 он не равен нулю): $\frac{x^3-8}{4x-8} = \frac{x^2+2x+4}{4}.$

3. 3

   Преобразуем основание степени: $1+\frac{x^2+2x+4}{4} = \frac{4+x^2+2x+4}{4} = \frac{x^2+2x+8}{4}.$

4. 4

   Теперь можно отдельно подставить $x=2$ в основание и показатель, так как выражения стали непрерывными. Основание: $\frac{4+4+8}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Показатель: $2x = 4$. Получили форму $4^4$ — это определённый предел, не $1^{\infty}$, и никаких специальных приёмов (логарифмирования и т.д.) не требуется.

5. 5

   Вычислим значение: $\lim_{x\to2}\left(1+\frac{x^3-8}{4x-8}\right)^{2x} = 4^4 = 256.$

6. 6

   Проверим численно: при $x=2{,}0001$ выражение даёт $256{,}109$, а при $x=1{,}9999$ — чуть меньше $256$. С обеих сторон предел стремится к $256$.