Найти предел (√(4 – x) – 3)/(x² + 7x + 10) при x, стремящемся к –5.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим неопределённость. При $x=-5$ числитель равен $\sqrt{5+4}-3=\sqrt9-3=0$, а знаменатель — $25-35+10=0$. Получается форма $\tfrac00$, то есть и числитель, и знаменатель делятся на $(x+5)$ — этот множитель нужно будет сократить перед подстановкой.

2. 2

   Разложим знаменатель на множители. Требуется найти такие числа, произведение которых $10$, а сумма $7$ — это $5$ и $2$:

   $x^{2}+7x+10=(x+5)(x+2)$

   Теперь множитель $(x+5)$ виден явно; задача — получить такой же множитель в числителе.

3. 3

   Умножим на сопряжённое к числителю. Используется равенство $\left(\sqrt{u}-3\right)\left(\sqrt{u}+3\right)=u-9$ при $u=4-x$:

   $\left(\sqrt{4-x}-3\right)\left(\sqrt{4-x}+3\right)=(4-x)-9=-x-5=-(x+5)$

   Корень исчезает, появляется искомый $(x+5)$ — с минусом, который обязательно учитывается.

4. 4

   Сократим и упростим выражение. Получаем

   $\frac{-(x+5)}{(x+5)(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}=\frac{-1}{(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}$

   Это верно при $x\neq-5$, то есть именно в проколотой окрестности, которую и рассматривает предел. Проверка на $x=-6,-5.1,-4.9,-4$ даёт совпадение до $10^{-8}$ ✓.

5. 5

   Подставим значение в упрощённую дробь. Полученное выражение непрерывно при $x=-5$:

   $\frac{-1}{(-5+2)\left(\sqrt{9}+3\right)}=\frac{-1}{(-3)(6)}=\frac{1}{18}$

   Два минуса дают плюс, значит предел положительный.

6. 6

   Проверим численно. При $x=-5\pm10^{-5}$ исходная дробь даёт $0.05555576$ и $0.05555535$, что обрамляет $\tfrac1{18}=0.0555556$ ✓. Односторонние пределы совпадают, значит предел существует и равен $\tfrac{1}{18}$.