Вычислить сумму бесконечного ряда ln(n)/n² при n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала обосновываем сходимость. Сравним с $\sum n^{-3/2}$: при больших $n$ выполнено $\ln n<n^{1/2}$, поэтому $\dfrac{\ln n}{n^2}<\dfrac{1}{n^{3/2}}$. Так как ряд $\sum n^{-3/2}$ сходится ($p=\tfrac32>1$), данный ряд сходится абсолютно. Слагаемое при $n=1$ равно $\ln 1=0$, так что фактически сумма начинается с $n=2$.

2. 2

   Дифференцируем дзета-функцию под знаком суммы. При $\Re(s)>1$

   $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-s}$

   и $\dfrac{d}{ds}n^{-s}=\dfrac{d}{ds}e^{-s\ln n}=-\ln n\cdot n^{-s}$. Почленное дифференцирование здесь законно, поскольку продифференцированный ряд сходится равномерно на множестве $\Re(s)\ge1+\delta$.

3. 3

   Считываем нужное тождество. Итак,

   $\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}\quad\Longrightarrow\quad\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}=-\zeta'(s)$

   При $s=2$ получаем замкнутую форму $-\zeta'(2)$. Элементарного выражения не существует: $\zeta'(2)$ связана с постоянной Глейшера — Кинкелина, а не с одними лишь $\pi$ и $\ln 2$.

4. 4

   Получаем численное значение, которому действительно можно верить. Прямое суммирование сходится слишком медленно (хвост после $N$ имеет порядок $(\ln N+1)/N$). Сложив первые $200{,}000$ слагаемых и уточнив хвост оценкой Эйлера — Маклорена $\dfrac{\ln N+1}{N}-\dfrac{f(N)}{2}-\dfrac{f'(N)}{12}$, получаем

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\ln n}{n^2}=0.9375482543$

5. 5

   Независимо проверяем порядок величины. Известное значение $\zeta'(2)=-0.93754825431584\ldots$ совпадает с вычисленной суммой в десяти знаках ✓. Годится и грубая прикидка: только первые четыре ненулевых слагаемых дают $\tfrac{\ln2}{4}+\tfrac{\ln3}{9}+\tfrac{\ln4}{16}+\tfrac{\ln5}{25}=0.4464$, а оставшийся положительный хвост доводит сумму до $0.9375$ ✓.