Найдите неопределённый интеграл (x⁴ – 3x² + 5)/x по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Не стоит использовать замену переменной или интегрирование по частям — знаменатель-моном легко позволяет разложить дробь на сумму простых слагаемых. Это сразу превращает неудобную дробь в три стандартных интеграла. Любые другие методы здесь избыточны.

2. 2

   Разделим каждое слагаемое числителя на $x$: $\frac{x^4-3x^2+5}{x}=\frac{x^4}{x}-\frac{3x^2}{x}+\frac5x=x^3-3x+\frac5x.$ Такое разложение облегчает дальнейшее интегрирование.

3. 3

   Интегрируем многочлен по правилу степеней: $\displaystyle\int x^3\,dx=\frac{x^4}{4}$ и $\displaystyle\int -3x\,dx=-\frac{3x^2}{2}$. Это стандартные формулы для неопределённого интеграла степенной функции.

4. 4

   Слагаемое $5/x$ интегрируется по формуле для $1/x$: степенное правило не работает при показателе $-1$, поэтому $\displaystyle\int\frac5x\,dx=5\ln|x|$. Модуль обязателен, так как исходная функция определена и при отрицательных $x$.

5. 5

   Соберём общий ответ и проверим его дифференцированием: $\int\frac{x^4-3x^2+5}{x}\,dx=\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+5\ln|x|+C.$ Производная этого выражения — $x^3-3x+\frac5x$, что совпадает с упрощённым подынтегральным выражением. Значит, решение верно.