Найти предел ln(e^x + x) / (x² + 1) при x, стремящемся к плюс бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Нельзя раскладывать логарифм суммы. $\ln(e^x+x)$ — это не $\ln e^x+\ln x$. Корректный приём — вынести доминирующее слагаемое под знаком логарифма, а затем воспользоваться формулой $\ln(ab)=\ln a+\ln b$ для полученного произведения.

2. 2

   Вынесем доминирующее слагаемое $e^{x}$ под знаком логарифма. При больших $x$ экспонента $e^x$ значительно превосходит $x$, поэтому

   $e^{x}+x=e^{x}\left(1+xe^{-x}\right)$

   и, следовательно,

   $\ln\left(e^{x}+x\right)=\ln\left(e^{x}\right)+\ln\left(1+xe^{-x}\right)=x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)$

3. 3

   Покажем, что поправочный член мал. Так как экспонента растёт быстрее любого многочлена, $xe^{-x}\to 0$, поэтому

   $\ln\left(1+xe^{-x}\right)\to\ln 1=0$

   То есть числитель — это $x$ плюс исчезающее при больших $x$ слагаемое: он растёт как $x$, не быстрее.

4. 4

   Сравним скорости роста числителя и знаменателя. Получаем дробь

   $\frac{x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)}{x^{2}+1}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

   Числитель первой степени, знаменатель — второй: такая дробь всегда стремится к нулю при больших $x$.

5. 5

   Запишем ответ и проверим численно.

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^{x}+x\right)}{x^{2}+1}=0$

   Например, при $x=100$ значение $0.009999$, при $x=500$ — $0.002000$, то есть уменьшается примерно как $1/x$, что и предсказывалось.