Продифференцируйте y = eˣ / (eˣ + e⁻ˣ)² и упростите результат.

Step-by-step solution

1. 1

   Перепишем частное как произведение. Перенос знаменателя наверх в виде отрицательной степени избавляет от громоздкого числителя в правиле частного:

   $y=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$

   Теперь работает правило произведения $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ при $u=e^{x}$ и $v=\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$.

2. 2

   Продифференцируем каждую часть. Для $u$: $u'=e^{x}$. Для $v$ цепному правилу нужна производная внутренней функции

   $\frac{d}{dx}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=e^{x}-e^{-x}$

   (второе слагаемое получает минус от собственного цепного правила), поэтому

   $v'=-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

3. 3

   Соберём по правилу произведения.

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}-2e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

4. 4

   Вынесем наименьшую степень. Общий множитель — $e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}$: берём более отрицательный показатель, поэтому от первого слагаемого остаётся лишний множитель $\left(e^{x}+e^{-x}\right)$:

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left[\left(e^{x}+e^{-x}\right)-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)\right]$

5. 5

   Упростим скобку и раскроем. Распределяя $-2$:

   $e^{x}+e^{-x}-2e^{x}+2e^{-x}=-e^{x}+3e^{-x}$

   а умножение на внешний $e^{x}$ использует $e^{x}\cdot e^{-x}=1$:

   $e^{x}\left(-e^{x}+3e^{-x}\right)=-e^{2x}+3$

   что даёт компактный результат

   $\frac{dy}{dx}=\frac{3-e^{2x}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{3}}$

6. 6

   Проверим численно и найдём точку экстремума. Центральная разность с $h=10^{-6}$ совпадает с этой формулой при $x=-1.2$, $0$, $0.7$ и $1.9$ с точностью до $10^{-6}$ ✓. Производная обращается в ноль при $e^{2x}=3$, то есть $x=\tfrac12\ln3\approx0.5493$ — единственный максимум $y$, и смена знака с $+$ на $-$ в этой точке это подтверждает.