Для выражения a*x + b найти частную производную по a и по b.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим, какие переменные считаются постоянными. При взятии частной производной дифференцируется только по одной переменной, а все остальные считаются постоянными. В данном выражении три символа: $a$, $b$ и $x$, и в каждом пункте «переменной» будет своя буква — $x$ во всех случаях считается постоянной.

2. 2

   Дифференцируем по $a$. Считаем $x$ и $b$ постоянными. Тогда $ax$ — это произведение переменной $a$ на постоянный множитель $x$, а $b$ — просто постоянная:

   $\frac{\partial}{\partial a}(ax)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial a}(b)=0,$

   $\frac{\partial f}{\partial a}=x.$

   Получается $x$, а не $1$ и не $ax$: при дифференцировании $ax$ по $a$ остаётся коэффициент при $a$, то есть $x$.

3. 3

   Дифференцируем по $b$. Теперь $a$ и $x$ считаются постоянными, значит, всё выражение $ax$ — это постоянная:

   $\frac{\partial}{\partial b}(ax)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial b}(b)=1,$

   $\frac{\partial f}{\partial b}=1.$

4. 4

   Сравним с производной по $x$. Для полноты: $\frac{\partial f}{\partial x}=a$ — одно и то же выражение даёт три разных ответа в зависимости от того, по какой букве берётся производная. Сравнение всех трёх вариантов помогает понять, что значит «остальные считаются постоянными».

5. 5

   Поясним результат. В модели прямой $y=ax+b$, подбираемой по данным, эти две частные производные — это компоненты градиента, используемого в методе наименьших квадратов: если изменить наклон $a$ на малую величину, предсказание изменится на $x$ раз больше, а если изменить свободный член $b$, то каждое предсказание сдвинется на ту же величину, $1$ к $1$. Поэтому точки, удалённые от начала координат, сильнее влияют на оценку наклона.