Найдите сумму 1/n² при n от 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим сходимость ряда. Перед поиском значения убедимся, что сумма имеет смысл. Данный ряд — это $p$-ряд $\sum n^{-p}$ при $p=2$. По признаку интеграла сравним с $\int_{1}^{\infty}x^{-2}dx=1$, который конечен, значит, ряд сходится — в отличие от гармонического ряда при $p=1$, который расходится. Только после этого можно искать сумму.

2. 2

   Оценим сумму сверху и снизу для ориентира. Заметим, что $\dfrac{1}{n^{2}}<\dfrac{1}{n(n-1)}$ при $n\ge 2$, а эта дробь телескопируется в $1$, значит, хвост после первого члена меньше $1$:

   $1<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}<2$

   Таким образом, ответ лежит между 1 и 2 — это полезно для проверки результата.

3. 3

   Вспомним идею Эйлера: разложим $\dfrac{\sin x}{x}$ по её корням. Функция $\dfrac{\sin x}{x}$ равна $1$ при $x=0$ и обращается в ноль при $x=\pm k\pi$, что позволяет записать бесконечное произведение:

   $\frac{\sin x}{x}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{x^{2}}{k^{2}\pi^{2}}\right)$

   Здесь трансцендентная функция рассматривается как многочлен по её корням — именно этот шаг сделал рассуждение знаменитым.

4. 4

   Сравним коэффициенты при $x^{2}$. При раскрытии произведения коэффициент при $x^{2}$ равен $-\displaystyle\sum_{k\ge 1}\frac{1}{k^{2}\pi^{2}}$. В разложении Тейлора $\dfrac{\sin x}{x}=1-\dfrac{x^{2}}{6}+\cdots$, тот же коэффициент — $-\dfrac16$. Приравнивая, получаем:

   $\frac{1}{\pi^{2}}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac16$

5. 5

   Вычислим сумму.

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx 1{,}6449340668$

   Это значение попадает в границы из шага 2. Прямая сумма первых двух миллионов членов даёт $1{,}6449335668$, а недостающие $5\times 10^{-7}$ — это как раз хвост $\approx 1/N$. В современной записи это $\zeta(2)$.