Найдите производную y = log(sin x) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим составную функцию. Данная функция — это логарифм, взятый от тригонометрической функции, то есть $\ln u$ при внутренней функции $u=\sin x$. Следовательно, потребуется использовать правило цепочки, а не свойства логарифма.

2. 2

   Запишем правило цепочки. Для $y=\ln u$ имеем $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}.$

3. 3

   Вычислим производную внутренней функции. При $u=\sin x$ получаем $\dfrac{du}{dx}=\cos x$.

4. 4

   Подставим и упростим выражение. $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.$

5. 5

   Укажем область определения и проверим результат. Исходная функция определена при $\sin x>0$, поэтому и производная $\cot x$ рассматривается на этих промежутках. Например, при $x=1$ значение производной равно $\cot 1\approx 0.642093$, что совпадает с численным приближением разности $\ln(\sin x)$ при $x=1$.