Найти производную функции f(x) = x³ − 3x² + 2x, а затем вычислить её определённый интеграл на отрезке [0, 3].

Step-by-step solution

1. 1

   Дифференцируем почленно по правилу степени. Так как $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$, а дифференцирование линейно, каждое слагаемое можно обработать отдельно:

   $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2,\qquad \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right)=-6x,\qquad \frac{d}{dx}(2x)=2$

   отсюда

   $f'(x)=3x^2-6x+2$

2. 2

   Находим первообразную для интеграла. Обращаем правило степени: у каждого слагаемого повышаем показатель на единицу и делим на него:

   $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$

   Постоянная интегрирования опущена сознательно: в определённом интеграле она сокращается при вычитании, поэтому годится любая одна первообразная. Быстрая проверка: $F'(x)=x^3-3x^2+2x=f(x)$.

3. 3

   Применяем формулу Ньютона—Лейбница.

   $\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

   $F(3)=\frac{81}{4}-27+9=\frac{81}{4}-18=\frac{81-72}{4}=\frac{9}{4}$

   $F(0)=0$

   значит, интеграл равен $\dfrac{9}{4}=2.25$.

4. 4

   Заметим, что это площадь со знаком, а не полная площадь. Разложив на множители, получаем $f(x)=x(x-1)(x-2)$, поэтому кривая пересекает ось в точках $x=0,1,2$: она положительна на $(0,1)$, отрицательна на $(1,2)$ и снова положительна на $(2,3)$. Интеграл складывает эти куски со знаком, поэтому он меньше геометрической площади между кривой и осью.

5. 5

   Проверяем разбиением по корням. С той же функцией $F$:

   $\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\frac14,\qquad \int_1^2 f=F(2)-F(1)=0-\frac14=-\frac14,\qquad \int_2^3 f=F(3)-F(2)=\frac94-0=\frac94$

   Складываем: $\tfrac14-\tfrac14+\tfrac94=\tfrac94$, что совпадает с шагом 3. (Если бы требовалась площадь без учёта знака, она равнялась бы $\tfrac14+\tfrac14+\tfrac94=\tfrac{11}{4}$.)