Найдите производную y = (sin x)^{cos x} методом логарифмического дифференцирования.

Step-by-step solution

1. 1

   Почему обычные правила не работают. Правило степени $\frac{d}{dx}u^n = nu^{n-1}u'$ требует постоянного показателя степени, а правило производной экспоненты $\frac{d}{dx}a^u = a^u \ln a \cdot u'$ — постоянного основания. Здесь и основание, и показатель степени зависят от $x$, поэтому ни одно из этих правил не применимо, и необходимо использовать логарифмическое дифференцирование.

2. 2

   Прологарифмируем обе части. Логарифм переводит показатель степени в множитель:

   $\ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x)$

   Это преобразование корректно на промежутках, где $\sin x > 0$, например, при $0 < x < \pi$, что совпадает с областью определения исходного выражения для произвольных вещественных показателей.

3. 3

   Дифференцируем обе части неявно. Слева по правилу цепочки получается $\dfrac{y'}{y}$. Справа применяется правило произведения к $\cos x$ и $\ln(\sin x)$:

   $\frac{y'}{y} = (-\sin x)\ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

   Производная $\ln(\sin x)$ равна $\dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$ по правилу цепочки — именно этот член чаще всего забывают.

4. 4

   Упрощаем правую часть.

   $\frac{y'}{y} = \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)$

5. 5

   Умножаем обе части на $y$. Подставим вместо $y$ исходное выражение — оставлять ответ через $y$ недостаточно:

   $y' = (\sin x)^{\cos x}\left(\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)\right)$

   Или, что то же самое: $y' = (\sin x)^{\cos x}\bigl(\cos x \cot x - \sin x \ln \sin x\bigr)$.

6. 6

   Проверим на удобной точке. При $x = \tfrac{\pi}{4}$: $\sin x = \cos x = \tfrac{\sqrt2}{2} = 0.707107$, значит $(\sin x)^{\cos x} = 0.707107^{0.707107} = 0.782654$. В скобках: $\dfrac{0.5}{0.707107} - 0.707107\ln(0.707107) = 0.707107 + 0.245064 = 0.952171$. Их произведение — $0.745221$. Символьная производная в $\tfrac{\pi}{4}$ даёт $0.745221$ — небольшое расхождение связано только с округлением; если взять больше знаков ($0.7826540 \times 0.9521713$), получаем $0.7452207$ ✓.