Вычислить интеграл от 0 до бесконечности арктангенс x, делённый на cosh x, по dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим сходимость интеграла. При $x\to\infty$ выполняется $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$, а $\operatorname{sech}x\sim 2e^{-x}$, то есть подынтегральная функция убывает экспоненциально быстро. В окрестности $0$ поведение как у $x$. Следовательно, интеграл конечен — сверху его можно оценить как $\tfrac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\operatorname{sech}x\,dx=\tfrac{\pi^2}{4}\approx2{,}467$.

2. 2

   Разложим $1/\cosh x$ в альтернирующий экспоненциальный ряд. Для $x>0$ верно:

   $\frac{1}{\cosh x}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n e^{-(2n+1)x}$

   Это справедливо, так как $e^{-2x}<1$ на всём рассматриваемом промежутке, поэтому геометрический ряд сходится всюду, где определён интеграл.

3. 3

   Проинтегрируем почленно. Перестановка суммы и интеграла даёт

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^{\infty}e^{-(2n+1)x}\arctan x\,dx$

4. 4

   Упростим каждый слагаемый интеграл методом интегрирования по частям. Пусть $u=\arctan x$, $dv=e^{-ax}dx$, тогда граничные члены обращаются в нуль на концах, остаётся

   $\int_0^{\infty}e^{-ax}\arctan x\,dx=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\,dx$

   Таким образом,

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_0^{\infty}\frac{e^{-(2n+1)x}}{1+x^{2}}\,dx$

5. 5

   Примем, что элементарного выражения для внутреннего интеграла не существует. Внутренний интеграл выражается через вспомогательные интегралы косинуса и синуса, но не сводится к элементарным функциям, поэтому полученный ряд — точный аналитический ответ. Для получения численного значения потребуется вычисление суммы или интеграла.

6. 6

   Выполним численное вычисление двумя независимыми способами. Применяя квадратуру Гаусса-Лежандра на $[0,80]$, разбитую на семь частей, получаем

   $I\approx 1.0986875$

   Суммируя полученный ряд до $400$ членов, получаем $1.0986859$, что совпадает до шести знаков ✓. Оба результата меньше оценки сверху $\pi^2/4=2.467$ из первого шага. (Заметим, что $I$ близко к, но не равно $\ln 3=1.0986123$.)