Вычислить двойной интеграл (x/8)(x² + xy) по области 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении. Произведение $\frac{x}{8}(x^2 + xy)$ удобнее интегрировать, если представить его в виде суммы одночленов:

   $\frac{x}{8}(x^2 + xy) = \frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}$

   Теперь каждый слагаемый — это простая степень $x$ на простую степень $y$, так что оба интегрирования элементарны.

2. 2

   Интегрируем по $y$, считая $x$ постоянным. Слагаемое $x^3/8$ — константа по $y$, а $x^2y/8$ интегрируется по правилу степени для $y$:

   $\int_0^2 \left(\frac{x^3}{8} + \frac{x^2 y}{8}\right) dy = \left[\frac{x^3 y}{8} + \frac{x^2 y^2}{16}\right]_0^2$

3. 3

   Подставим пределы по $y$. При $y = 2$ (при $y = 0$ оба слагаемых дают ноль):

   $\frac{2x^3}{8} + \frac{4x^2}{16} = \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{4}$

   Обратите внимание: во втором слагаемом $y^2$ даёт $4$, а не $2$ — именно здесь часто допускают арифметическую ошибку.

4. 4

   Интегрируем полученное выражение по $x$. Вынесем общий множитель $\tfrac14$:

   $\frac{1}{4}\int_0^2 (x^3 + x^2)\,dx = \frac{1}{4}\left[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{1}{4}\left(4 + \frac{8}{3}\right)$

5. 5

   Завершаем вычисления и проверяем разумность ответа.

   $\frac{1}{4} \cdot \frac{20}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.6667$

   Численное интегрирование по квадрату подтверждает результат. Для проверки: подынтегральная функция принимает значения от $0$ до $\frac{2}{8}(4 + 4) = 2$ на области площадью $4$, так что ответ $\tfrac53$ лежит в допустимых пределах. (Множитель $1/8$ — это как раз та константа, которая делает $\frac{x}{8}(x+y)$ плотностью вероятности на этом квадрате; данный интеграл — это математическое ожидание $x$ при такой плотности.)