Вычислить двойной интеграл от xy·sin(xy²) по области 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем удобную подстановку в подынтегральном выражении. Аргумент синуса — $xy^2$, а перед ним стоит множитель $xy$. Поскольку $\frac{d}{dy}(xy^2) = 2xy$, видно, что внешний множитель — это половина производной внутренней функции по $y$. Это классический признак удобной подстановки $u$ по переменной $y$. Интегрировать сначала по $x$ здесь невыгодно, поэтому сохраняем порядок $dy\,dx$.

2. 2

   Делаем подстановку в первом (внутреннем) интеграле, считая $x$ постоянным. Пусть

   $u = xy^2, \qquad du = 2xy\,dy \ \Longrightarrow \ xy\,dy = \tfrac12\,du$

   Пределы интегрирования пересчитываются вместе с переменной: при $y = 0$ получаем $u = 0$, при $y = \pi$ — $u = x\pi^2$. Тогда

   $\int_0^{\pi} xy\sin(xy^2)\,dy = \frac{1}{2}\int_0^{x\pi^2} \sin u\,du$

3. 3

   Вычисляем внутренний интеграл.

   $\frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_0^{x\pi^2} = \frac{1}{2}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right)$

   Заметим, что $x$, стоявшее вне интеграла, оказалось внутри подстановки, поэтому лишний множитель $x$ не появляется.

4. 4

   Интегрируем полученное выражение по $x$.

   $I = \frac{1}{2}\int_0^{\pi}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right) dx = \frac{1}{2}\left(\pi - \left[\frac{\sin(x\pi^2)}{\pi^2}\right]_0^{\pi}\right)$

   Множитель $\frac{1}{\pi^2}$ появляется по правилу цепной производной: $\pi^2$ — это постоянный коэффициент при $x$ внутри косинуса.

5. 5

   Собираем выражение и подставляем значения.

   $I = \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi^3)}{2\pi^2}$

   При $\pi^3 \approx 31.00628$ и $\sin(\pi^3) \approx -0.39829$:

   $I \approx 1.570796 + 0.020178 = 1.590974$

   Численное интегрирование по двум переменным даёт $1.59097384$, что подтверждает результат.