Найдите компоненты градиента функции f(x, y, z) = 3x⁴yz³ по направлениям декартовых единичных векторов i, j и k.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимание, что означает «компонента по $\mathbf{i}$». Для единичного вектора $\mathbf{u}$ компонента $\nabla f$ по $\mathbf{u}$ равна $\nabla f\cdot\mathbf{u}$, что совпадает с направленной производной $D_{\mathbf{u}}f$. Так как $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ — это координатные оси, эти скалярные произведения просто равны трём частным производным:

   $\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}.$

   Таким образом, вычислять скалярные произведения не требуется — задача сводится к нахождению трёх производных по одной переменной.

2. 2

   Вычислим производную по $x$, считая $y$ и $z$ постоянными. Множитель $3yz^{3}$ рассматривается как константа, дифференцируется только $x^{4}$:

   $\frac{\partial f}{\partial x}=3yz^{3}\cdot 4x^{3}=12x^{3}yz^{3}.$

3. 3

   Вычислим производную по $y$. Теперь $3x^{4}z^{3}$ — постоянный множитель, а $y$ входит в первую степень, производная которого равна $1$:

   $\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{4}z^{3}.$

   Заметим, что $y$ исчезает — это служит проверкой, так как $f$ была линейна по $y$.

4. 4

   Вычислим производную по $z$. Считаем $3x^{4}y$ постоянным множителем и применяем правило степени к $z^{3}$:

   $\frac{\partial f}{\partial z}=3x^{4}y\cdot 3z^{2}=9x^{4}yz^{2}.$

5. 5

   Соберём градиент и проверим результат. Объединяя найденные значения, получаем:

   $\nabla f=\langle 12x^{3}yz^{3},\;3x^{4}z^{3},\;9x^{4}yz^{2}\rangle.$

   Каждая компонента сохраняет общую степень $7$, уменьшая степень ровно по той переменной, по которой бралась производная, что ожидаемо для монома степени $8$. Кроме того, $x f_x + y f_y + z f_z = (4+1+3)f = 8f$ — это тождество Эйлера для однородной функции степени $8$.