Найдите предел (1 + 1/x)^{x² / e^x} при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим область определения выражения. При малых $x<0$ основание $1+\tfrac1x$ становится отрицательным (например, при $x=-0.1$ оно равно $-9$), а отрицательное число в произвольной вещественной степени не определено в вещественных числах. Поэтому можно рассматривать только правосторонний предел, и ответ обязательно записывается как $x\to 0^{+}$.

2. 2

   Определим вид неопределённости. При $x\to 0^{+}$:

   $1+\frac1x\to+\infty,\qquad \frac{x^2}{e^x}\to\frac{0}{1}=0$

   Получается неопределённость $\infty^{0}$ — действительно неопределённая форма, результат которой зависит от скорости стремления основания и показателя.

3. 3

   Прологарифмируем, чтобы свести степень к произведению. Обозначим $L=\left(1+\tfrac1x\right)^{x^2/e^x}$,

   $\ln L=\frac{x^2}{e^x}\ln\left(1+\frac1x\right)$

   Логарифмирование — стандартный приём для форм типа $\infty^{0}$, $0^{0}$ или $1^{\infty}$: оно превращает «соревнование» между основанием и показателем в обычное произведение.

4. 4

   Оценим логарифм. Для малых положительных $x$ имеем $1+\tfrac1x\sim\tfrac1x$, значит, $\ln\left(1+\tfrac1x\right)\sim-\ln x$. Так как $e^x\to 1$, всё выражение ведёт себя как

   $\ln L\sim x^2\ln\frac1x$

5. 5

   Используем стандартный предел $x^{a}\ln x\to 0$. Любая положительная степень $x$ «побеждает» логарифм:

   $\lim_{x\to 0^{+}}x^2\ln\frac1x=0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to 0^{+}}\ln L=0$

6. 6

   Возвращаемся к исходному выражению. Так как $\ln L\to 0$, а функция $\exp$ непрерывна,

   $\lim_{x\to 0^{+}}L=e^{0}=1$

   Численно: при $x=0.01$ значение $1.000457$, а при $x=10^{-5}$ — $1.0000000012$, то есть действительно стремится к $1$. Двустороннего предела не существует, так как функция слева от нуля не определена.