Найдите производную ln(1 + x/(eπ)) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   $e\pi$ рассматривается как одна константа. Произведение $e\pi \approx 8.53973422$ не содержит $x$, поэтому ведёт себя как любое другое число. Это важно заметить сразу, чтобы не возникло желания применять к нему правило произведения или частного.

2. 2

   Применяется правило цепочки для натурального логарифма. Пусть $u=1+\dfrac{x}{e\pi}$,

   $\frac{d}{dx}\ln u=\frac{u'}{u},\qquad u'=\frac{1}{e\pi}$

   Внутренняя производная равна $\tfrac{1}{e\pi}$, так как $x$ входит линейно.

3. 3

   Записывается дробь.

   $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{1}{e\pi}}{1+\frac{x}{e\pi}}$

   Это уже верно, но дробь содержит вложенную дробь; стоит упростить выражение.

4. 4

   Убирается вложенная дробь. Умножим числитель и знаменатель на $e\pi$:

   $\frac{\frac{1}{e\pi}\cdot e\pi}{\left(1+\frac{x}{e\pi}\right)e\pi}=\frac{1}{e\pi+x}$

   Константа исчезает из числителя и просто добавляется к $x$ в знаменателе.

5. 5

   Замечается общий вид и проводится проверка. Для любой константы $c$ выполняется $\dfrac{d}{dx}\ln\left(1+\tfrac{x}{c}\right)=\dfrac{1}{x+c}$: производная логарифма линейной функции — это единица, делённая на ту же линейную функцию, при коэффициенте перед $x$, равном 1. Для $x=1{,}7$ по формуле центральных разностей получаем $0.0976588$, а $\dfrac{1}{1.7+8.53973422}=0.0976588$ — совпадает.