Найдите производную функции f(x) = x · cos(x + 3) + 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём функцию на части. Дифференцирование линейно, поэтому слагаемое $x\cos(x+3)$ и константу $7$ можно обработать по отдельности. Производная любой константы равна $0$, так что $+7$ ничего не добавляет — этот сдвиг поднимает график по вертикали, не меняя ни одного наклона.

2. 2

   Применим правило произведения к первому слагаемому. При $u = x$ и $v = \cos(x+3)$:

   $\frac{d}{dx}\left[uv\right] = u'v + uv'$

3. 3

   Продифференцируем каждый множитель. Здесь $u' = 1$. Для $v$ цепное правило даёт

   $v' = -\sin(x+3)\cdot\frac{d}{dx}(x+3) = -\sin(x+3)\cdot 1 = -\sin(x+3)$

   Производная внутренней функции равна $1$, потому что аргумент лишь сдвинут; если бы стояло $\cos(3x+3)$, появился бы дополнительный множитель $3$.

4. 4

   Соберём производную.

   $f'(x) = 1\cdot\cos(x+3) + x\left(-\sin(x+3)\right) = \cos(x+3) - x\sin(x+3)$

5. 5

   Проверим в удобной точке. При $x = -3$ аргумент обращается в ноль, поэтому $f'(-3) = \cos 0 - (-3)\sin 0 = 1$. Центральная разность для $f$ в точке $x = -3$ с шагом $10^{-6}$ тоже даёт $1.000000$. При $x = 0$: $f'(0) = \cos 3 = -0.989992$, что совпадает с численной производной до шести знаков.