Вычислить тройной интеграл от yz по области 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ x².

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем, какая переменная задаёт внутренний предел. Переменная $z$ меняется от $0$ до $x^2$ — предел зависит от $x$, самой внешней переменной, а не от $y$. Это допустимо и означает, что после вычисления внутреннего интеграла интегрирование по $y$ выполняется независимо от $z$.

2. 2

   Интегрируем по z, считая y постоянной.

   $\int_0^{x^2} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_0^{x^2} = y \cdot \frac{(x^2)^2}{2} = \frac{x^4 y}{2}$

   Возведение верхнего предела в квадрат даёт $x^4$, а не $x^2$ — именно на этом шаге определяется итоговая степень $\pi$.

3. 3

   Интегрируем по y от 0 до 2. Теперь множитель $x^4/2$ постоянен:

   $\int_0^2 \frac{x^4 y}{2}\,dy = \frac{x^4}{2}\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{2} = \frac{x^4}{2}\cdot 2 = x^4$

4. 4

   Интегрируем по x от 0 до 2π.

   $\int_0^{2\pi} x^4\,dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^{2\pi} = \frac{(2\pi)^5}{5}$

5. 5

   Упрощаем степень. Так как $(2\pi)^5 = 2^5\pi^5 = 32\pi^5$:

   $\iiint yz\,dV = \frac{32\pi^5}{5} \approx 1958.53$

   Множитель $2^5 = 32$ обязательно нужно раскрыть — запись $2\pi^5/5$ отличалась бы в $32$ раза. Отметим, что $\pi$ здесь не играет тригонометрической роли: это просто числовой верхний предел $2\pi \approx 6.2832$.