Вычислить неопределённый интеграл −8·cos(0,8·t²) по t.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что элементарного первообразного не существует. По теореме Лиувилля, $\cos(at^{2})$ не имеет первообразной, выражаемой через элементарные функции — это та же причина, по которой $\int e^{-t^{2}}dt$ не выражается в элементарных функциях. Поэтому задача — не «подобрать» формулу подстановкой, а выразить ответ через специальную функцию, введённую именно для таких случаев.

2. 2

   Вспомним определение косинусного интеграла Френеля. Стандартная нормировка:

   $C(x)=\int_{0}^{x}\cos\!\left(\frac{\pi u^{2}}{2}\right)du,$

   где $C(0)=0$. Любой интеграл вида $\int\cos(at^{2})\,dt$ можно привести к такому виду; вся задача — подобрать подходящую замену переменной.

3. 3

   Приведём аргумент к стандартному виду. Запишем $0.8=\tfrac45$ и подберём $u=\lambda t$ так, чтобы $\frac{\pi u^{2}}{2}=\frac45 t^{2}$. Это даёт

   $\frac{\pi\lambda^{2}}{2}=\frac{4}{5}\;\Longrightarrow\;\lambda=\sqrt{\frac{8}{5\pi}},$

   и поскольку $dt=\frac{du}{\lambda}$, в общем случае

   $\int\cos(at^{2})\,dt=\sqrt{\frac{\pi}{2a}}\;C\!\left(\sqrt{\frac{2a}{\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

4. 4

   Подставим $a=\tfrac45$ и упростим множитель. Перед интегралом стоит

   $\sqrt{\frac{\pi}{2\cdot\frac45}}=\sqrt{\frac{5\pi}{8}},$

   а с учётом $-8$ перед интегралом:

   $-8\sqrt{\frac{5\pi}{8}}=-\frac{8}{2\sqrt2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{2}\sqrt{5\pi}=-2\sqrt{10\pi}.$

   Здесь важно не ошибиться в преобразовании $8/\sqrt8=\sqrt8=2\sqrt2$.

5. 5

   Запишем ответ и проверим производную. Получаем

   $\int-8\cos(0.8t^{2})\,dt=-2\sqrt{10\pi}\;C\!\left(\sqrt{\frac{8}{5\pi}}\,t\right)+C_{1}.$

   Проверим производную: $\frac{d}{dt}C(\lambda t)=\lambda\cos\!\left(\frac{\pi\lambda^{2}t^{2}}{2}\right)=\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}\cos(0.8t^{2})$, а $-2\sqrt{10\pi}\cdot\sqrt{\tfrac{8}{5\pi}}=-2\sqrt{16}=-8$ — всё сходится. Если бы в «0,8» запятая означала разряд, интеграл был бы $\cos(8t^{2})$ и ответ: $-2\sqrt{\pi}\,C\!\left(\tfrac{4t}{\sqrt{\pi}}\right)$.