Пусть f(x) = x² + 2x − 3 при x < 2 и f(x) = ax + 1 при x ≥ 2. Найдите значение a, при котором f непрерывна в точке x = 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Выписываем, что требует непрерывность в точке. Функция непрерывна в точке $x=2$ ровно тогда, когда все три величины существуют и совпадают:

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2)=\lim_{x\to 2^+}f(x)$

   Каждая ветвь — многочлен, поэтому на своей стороне она непрерывна; сломаться всё может только на стыке $x=2$.

2. 2

   Считаем левый предел по первой ветви. При $x<2$ действует правило $f(x)=x^2+2x-3$; это многочлен, поэтому предел равен просто его значению в точке $2$:

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=2^2+2(2)-3=4+4-3=5$

3. 3

   Считаем значение и правый предел по второй ветви. Второе правило действует при $x\ge 2$, поэтому оно задаёт и $f(2)$, и правый предел:

   $f(2)=2a+1,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=2a+1$

   Так как в условии стоит $x\ge 2$, а не $x>2$, функция на стыке уже определена — «дырки» заполнять не нужно, требуется лишь убрать скачок.

4. 4

   Приравниваем обе стороны и решаем. Непрерывность вынуждает

   $2a+1=5\qquad\Longrightarrow\qquad 2a=4\qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{a=2}$

5. 5

   Проверяем, переписав функцию. При $a=2$

   $f(x)=\begin{cases} x^2+2x-3, & x<2\\ 2x+1, & x\ge 2\end{cases}$

   Подходя слева, получаем $f(1.99)=4.9401$; справа — $f(2.01)=5.02$; и $f(2)=5$. График склеивается без скачка. Заметим, что достигнута именно непрерывность и ничего больше: левая производная равна $2x+2=6$ при $x=2$, а правая равна $2$, так что излом в этой точке остаётся — сделать функцию дифференцируемой не удастся ни при каком $a$.