Перемещение точки, движущейся по прямой, задано формулой s = 5t³ + 3t + 8 (в метрах), где t измеряется в секундах. Найти скорость и ускорение при t = 5 секунд.

Step-by-step solution

1. 1

   Вспоминаем смысл каждой производной. Скорость — это мгновенная скорость изменения перемещения, $v=\frac{ds}{dt}$, а ускорение — скорость изменения скорости, $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}$. Никакие кинематические формулы не нужны: дифференцирование даёт и то и другое.

2. 2

   Дифференцируем один раз и получаем скорость. Применяя правило дифференцирования степени к каждому слагаемому, получаем $v(t)=15t^2+3$. Постоянная $8$ исчезает, потому что фиксированный сдвиг положения не влияет на быстроту движения.

3. 3

   Дифференцируем ещё раз и получаем ускорение. $a(t)=30t$. Оно не постоянно, значит движение не является равноускоренным.

4. 4

   Подставляем $t=5$ в скорость. $v(5)=15(5)^2+3=15(25)+3=375+3=378$ метров в секунду.

5. 5

   Подставляем $t=5$ в ускорение. $a(5)=30(5)=150$ метров на секунду в квадрате.

6. 6

   Проверяем знаки на разумность. Оба значения положительны, значит при $t=5$ с точка движется в положительном направлении и продолжает разгоняться, что согласуется со строго возрастающей кубической зависимостью.